Page - 142 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

I. Die Riemann’sche Fla¨che der Funktion y= √ A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4). 35. Indem wir z= s(u) = ϑ3ϑ2 ϑ1(u) ϑ0(u) setzten, fanden wir, dass z einer Diffe- rentialgleichung zweiter Ordnung( dz du )2 =G2(1−z2)(1−κ2z2), (1) oder ( dz du ) =G √ (1−z2)(1−κ2z2) G= pi ω ϑ23,κ 2 = ϑ42 ϑ43 genu¨gt,unddass fu¨rkleineWertevonusichzalsPotenzreihevonudarstellen la¨sst in der Form z= z(u) =Gu+ 1 3! A3u 3 + 1 5! A5u 5 + · ·· , denn man kannϑ1(u) undϑ0(u) in Potenzreihen von u entwickeln, und zu- folge der Bedingung s(−u) =−su mu¨ssen alle geraden Potenzen aus der Entwicklung ausfallen. Sei nun umgekehrt die Differentialgleichung (1) gegeben, in der wirG beliebig und ∣∣κ2∣∣<1 voraussetzen wollen, so wird aus derselben G du dz = 1√ (1−z2)(1−κ2z2) und Gu= ∫ dz√ (1−z2)(1−κ2z2) +C folgen. Setzen wir fest, dass u= 0 sein soll fu¨r z = 0, so stellt sich u als bestimmtes Integral zwischen Null und dem komplexen Werte z= ζ dar. Es wird Gu= ∫ ζ 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2). (2)