Page - 143 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

143 Durchdieses Integral ist fu¨r kleineWertevon ζuals eine eindeutige Funktion von ζ inder Umgebung von ζ= 0dargestellt. Dennso lange |z|<1 ist, kann man (1−z2)−12 =1+ 12z2 + · ·· (1−κ2z2)−12 =1+ 12κ2z2 + · ·· als konvergente Potenzreihen entwickeln, und es wird [(1−z2)(1−κ2z2)]−12 = 1+ 12(1+κ2)z2 + · ·· , also Gu= ζ+ 16(1+κ 2)ζ3 + · ·· (A) sich ergeben, mithin u in der Umgebung des Punktes ζ = 0 innerhalb des Kreises, dessen Radius gleich 1 ist, sobald |κ|< 1 ist, eine eindeutige unge- rade Funktionvon ζ sein, da inderPotenzreihe,wiemansieht, nurungerade Potenzen vorkommen. DanunzweiverschiedenenWertenvonζ,die inderUmgebungvonζ = 0 liegen, stets zwei verschiedene Werte von u in der Umgebung von u = 0 entsprechen und (du dζ ) fu¨r ζ = 0 nicht verschwindet und nicht unendlich ist, so wird auch ζ fu¨r kleine Werte von u eine eindeutige Funktion von u sein und sich daher in der Umgebung der Stelle u= 0 in eine Potenzreihe der Form ζ=Gu+B2u 2 +B3u 3 +B4u 4 + · ·· (B) entwickeln lassen.Daaber fu¨rζ=−ζ′auchu=−u′aus (A) folgt, somu¨ssen in (B) alle gradzahligen Potenzen ausfallen, d. h. es ist ζ=Gu+B3u 3 +B5u 5 + · ·· , also fu¨r kleine Werte vonu eine eindeutige ungerade Funktion vonu. Die Gleichung (2) definirt also fu¨r kleine Werte von u und ζ die obere Grenze ζ des Integrals als eindeutige Funktion von u, welche der Differenti- algleichung (1) genu¨gt. Ko¨nnen wir direkt zeigen, dass bei beliebig gegebenemGundκ die Glei- chung (2)durchdieobereGrenze ζ des Integrals eine eindeutigedoppeltperi- odische Funktion definirt, dann werden uns die Perioden dieser Funktion ein Mittel an die Hand geben, die ϑ-Funktionen, welche ihnen entsprechen, zu konstruiren und dadurch ζ als doppeltperiodische Funktion vonu in anderer Form, als es die Gleichung (2) thut, darzustellen, na¨mlich in der Form ζ= ϑ3 ϑ2 ϑ1(u) ϑ0(u) . Diesen Weg wollen wir nun einschlagen und zwar in etwas allgemeinerer Form.