Page - 145 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

145 haben, oder die beiden Werte y1 und y2, welche kleinen Wertenx ′= 1x, also grossen Werten vonx entsprechen, sind in der Form y1 = + √ A x′2 + B x′+C+ pos. Pot. y1 =− √ A x′2 − B x′−C− pos. Pot. entwickelbar, also eindeutige Funktionen vonx′, daher auch vonx, so lange x ausserhalbK liegt. Ist ferner x=x0 irgend ein endlicher Wert von x, der von den Punkten a1, a2, a3, a4 verschieden ist, und setzt man fest, dass fu¨rx=x0 y=y0 = √ A(x0−a1)(x0−a2)(x0−a3)(x0−a4) = b auch dem Zeichen nach gegeben ist, so wird in der Umgebung vonx0 auch y eine eindeutige Funktion von x sein und zwar so lange als x innerhalb eines Kreises umx0 liegt, der alle Punkte a1, a2, a3, a4 ausschliesst. Denn da sowohl y als dydx fu¨rx=x0 endliche und ganz bestimmte Werte haben, da y= b fu¨rx=x0 werden soll, so kann man y in der Form y= b+A1(x−x0)+A2(x−x0)2 + · ·· entwickeln, woraus die Eindeutigkeit klar ist. Wu¨rde man festsetzen, dass y=−bwerden soll fu¨rx=x0, dann wu¨rde die Entwicklung y=−b−A1(x−x0)−A2(x−x0)2−··· lauten und diese wu¨rde wieder eine eindeutige Funktion vonx sein, in einer bestimmten Umgebung vonx0. Fig. 28. Nennt man die beiden Werte y1 = y und y2 =−y, welche die Funktion y fu¨r jedesxannimmt, die Zweige der algebrai- schen Funktion y, so kann man sagen: In der Umgebung aller Punkte x0 der x- Ebene werden von den Zweigen der Funk- tion y jeder eine eindeutige Funktion von x sein, wenn x0 von den Punkten a1, a2, a3, a4 verschieden ist. Wir untersuchen nun das Verhalten der beiden Zweige der Funktion y in der Umgebung der Punktea1,a2,a3,a4. Wir machen die Untersuchung fu¨r a1 sie gilt genau so auch fu¨r a2, a3, a4.