Page - 148 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

148 I. Die Riemann’sche Fla¨che der Funktion y. umkreisen, ohne ausA′ auszutreten, so wird, wennx′ seinen urspru¨nglichen Wert erha¨lt, auchydenurspru¨nglichenWertannehmen.Dasselbegilt fu¨r die untereEbene. IndieserWeisewerdenjezweiPunktenx′undx′′ inderoberen undunterenEbene,welchedenselbenWertvonx repra¨sentiren,dieWerte+y und−y entsprechen. Die Zweige der Funktion y sind auf diese Art in der Umgebung des Punktesx0 auch in der Darstellung der Variablenxgetrennt. Eine Schwierigkeit tritt fu¨r die Werte x= a1, a2, a3, a4 auf, fu¨r welche beideZweigeder Funktiongleichwerden und welche man Verzweigungswerte nennt. Fig. 30. Diese Schwierigkeit wird folgendermassen behoben: Nehmen wir den Punkt x= a1. Da fu¨r diese beide Werte y null, also einander gleich werden, so lassen wir die urspru¨nglich getrennt verlaufenden Ebenen, in denen wir x deuten, daselbst zusammenha¨ngen. Sei nunx1 ein Wert vonx, welcher so beschaffen ist, dass der Modul |x1−a1| kleiner sei als der Radi- us des KreisesK1, der alle anderen Punkte a2, a3, a4 ausserhalb la¨sst, und seien x ′ 1, x ′′ 1 die beiden Punkte (Fig. 30) in der oberen und un- teren Ebene, welche diesen Wert repra¨sentiren und+y1 und−y1 diezugeho¨rigenWertevony. Wir umkreisen nun mitx′, vonx′1 ausgehend, den Punkta1, ohne ausK1 hinauszutreten. Dabei wird, wenn x′ in die urspru¨ngliche Lage x′1 kommt. Fig. 31. ynichtdenurspru¨nglichenWert+y1 anneh- men, sondern−y1, d. h. den Wert, den wir dem Punktex′′1 zugeordnet haben. Ko¨nnten wir es nun so einrichten, dass nach einmali- ger Umkreisung von a1 der Punkt x ′ nicht mitx′1, sondern mit dem darunter liegenden x′′1 zusammenfa¨llt, so ha¨tten wir bewirkt, dassauchbei einmaligerUmkreisungvona1 dieFunktiony eindeutigbleibt,da jax′′1 mit x′1 der Lage in den Ebenen nach nicht iden- tisch ist. Das Verlangte ist aber leicht zu errei- chen. Denken wir uns (Fig. 31) von a1 aus eine Gerade aq in beliebiger Richtung gezo- gen bis u¨ber K1 hinaus und la¨ngs dieser die beiden Ebenen zerschnitten. Hierdurch erhalten wir vier Ra¨nder. Nun verbinden wir jeden Rand des obe- ren Blattes mit dem gegenu¨berstehenden Rande des unteren Blattes, wie ne-