Page - 150 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

150 I. Die Riemann’sche Fla¨che der Funktion y. von einander, es ha¨ngt das obere mit den oberen, das untere mit dem un- teren zusammen und wir ko¨nnen daher sagen unsere Riemann’sche Fla¨che ha¨ngt vollsta¨ndig zusammen, wenn wir x =∞ eben als einen Punkt im oberen Blatte fu¨r den y= +∞wird und einen zweiten im unteren Blatte fu¨r den y =−∞wird, deuten. Hierdurch ist das von der Darstellung der komplexen VariablenxVerlangte vollsta¨ndig geleistet. 38. Es tritt aber hier etwas auf, was von Bedeutung fu¨r das Folgende wird. Man sagt: Eine oder mehrere geschlossene Linien C begrenzen auf einer Fla¨cheT einenTheilderselbenvollsta¨ndig,wennesunmo¨glich ist, ausdiesem Theile ohne Ueberschreitung der LinienC an den Rand der Fla¨che (wenn dieselbe einen besitzt) oder in einen anderen Theil derselben zu gelangen. Sind pund p′ einander gegenu¨berliegende Punkte der Ufer vonC, so werden dieselbenverschiedenenTheilenvonT angeho¨ren,dieCbegrenzt.Kannman von p sowohl als von p′ an den Rand der Fla¨che kommen, dann begrenzen die LinienC fu¨r sich allein genommen keinen Theil vollsta¨ndig. Oder auch, kann man von p nach p′ auf einer Linie, die innerhalb T verla¨uft, gelangen, ohne C oder irgend einen Rand von T zu u¨berschreiten, so begrenzen die LinienC sicherlich keinen Theil von T vollsta¨ndig. Fig. 34. Fig. 35. So begrenzt ein Kreis auf der Kugel jede der beiden Calotten vollsta¨ndig; hingegen begrenzt ein Meridiankreis eines Torus keinen Theil desselben vollsta¨ndig, denn ein Parallelkreis desselben fu¨hrt von einem Uferpunkte zu dem gegenu¨berliegenden, ohne ersteren zu u¨berschreiten. Auch begrenzen beide zusammen, als Linien C aufgefasst, keinen Theil des Torus vollsta¨ndig. Wohl aber begren- zen zwei Meridiankreise zusammengenommen einen Theil vollsta¨ndig. Jede geschlossene Linie in der Zahlenebene, auf der wir die komplexe Gro¨sse z deuten, begrenzt ebenfalls einen Theil dieses Ge- bietes vollsta¨ndig. Anders ist es bei unserer aus zwei Bla¨ttern bestehenden Riemann’schen Fla¨che. Zieht man eine geschlossene Linie, welche keinen der Punkte a1, a2, a3, a4 einschliesst, so begrenzt, wie man sieht, diese den Theil, den sie einschliesst, vollsta¨ndig. Denn schneidet man la¨ngs dieser Li- nie, welche ganz in einem Blatte verlaufen muss, die Fla¨che durch, so fa¨llt das Innere heraus, ein Beweis, dass es mit der u¨brigen