Page - 152 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

152 I. Die Riemann’sche Fla¨che der Funktion y. Punkte p′ am a¨usseren Rande vonD auf einer inT verlaufenden undA,B, D nicht schneidenden LinieL gelangen. Durchschneidet man nunT la¨ngsA undB, so treffendieseSchnitteLnicht, undmankanndaher la¨ngsD fortge- hend, no¨thigenfalls an den Rand vonT′weiterschreitend∗) von einem Ufer vonLzudemanderengelangen,d.h.L isteinegeschlossene inT′verlaufende Linie, die fu¨r sich allein genommen keinen Theil vonT′ vollsta¨ndig begrenzt, was, wie wir zeigten, nicht stattfinden kann. Es muss also jede geschlossene LinieD in T fu¨r sich allein oder mitA undB zusammengenommen einen Theil von T vollsta¨ndig begrenzen. Fig. 39. Hieraus folgt aber, dass wir auf unserer Fla¨cheT nicht mehr als zwei geschlossene Li- nien finden ko¨nnen, die fu¨r sich sowohl, als zusammengenommen keinen Theil der Fla¨che vollsta¨ndig begrenzen. Denn seienA′,B′,C′ irgend drei Linien, welche keinen Theil von T weder fu¨r sich noch zusammengenommen vollsta¨ndig begrenzen. Dann kann man von dem Randpunkte p (Fig. 39) vonA′ zu dem gegenu¨berliegenden p′ auf einer KurveL ge- langen, welcheA inm schneiden mo¨ge, die aber B′, C′ nicht trifft, was nach der Vor- aussetzung, dassA′,B′,C′ keinen Theil von T vollsta¨ndig begrenzen, stets mo¨glich ist. Durchschneidet man nunT la¨ngsA,B′,C′, la¨sst aber la¨ngsA′ den Zusammenhang bestehen, so kann die Fla¨che durch diesen Schnitt la¨ngs A nicht zerfallen; denn die LinieL, welche bei p′p die KurveA′ u¨bersetzt, fu¨hrt von einem Randpunktem zu dem gegenu¨berliegenden, ohne einen der entstandenen Ra¨nder zu u¨berschreiten, da sieB′ undC nicht schneidet, da- her werdenA,B′,C′ auch keinen Theil der Fla¨che vollsta¨ndig begrenzen. Verfa¨hrt man nun auch so mit B und B′, so sieht man, dass auf Grund der Voraussetzung auch A, B, C′ zusammengenommen keinen Theil der Fla¨che vollsta¨ndig begrenzen ko¨nnen, was nicht angeht. Daher ko¨nnen aufT nicht mehr als zwei geschlossene Linien existiren, welche weder einzeln noch zusammen keinen Theil der Fla¨che vollsta¨ndig begrenzen. Mit jeder wei- ∗) Es ko¨nnte na¨mlich D von A in a geschnitten werden und hierdurch wu¨rde beim Fig. 38. Durchschnitte der Punkt a (Fig. 38) in die Punkte a′, a′′ auf entge- gengesetzten Ufern von A getrennt werden. Da man aber la¨ngs des Randes vonT ′, der eine einfache zusammenha¨ngende Linie ist, von a′′ ausgehend sicher nach a′ gelangen kann, so kann man auch von jedem Punkte der LinieD aus diese durchlaufen, ohne den Rand von T ′ zu u¨berschreiten.