Page - 154 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

II. Funktionen auf der Riemann’schen Fla¨che. 39. Auf unserer Fla¨cheT haben wirx gedeutet und jedem Punkte auf der- selben entsprach ein bestimmter Wert vonxund y. Wir sagen: Es ist y eine eindeutige Funktion des Ortes auf der Rie- mann’schen Fla¨che, indem wir unter Ort einen Punkt der Fla¨che verstehen, dem ein bestimmter Wert der komplexen Variabeln x zugeho¨rt, dem aber auch ein bestimmter Wert y entspricht. Ist nunR(xy) eine beliebige ratio- nale Funktion vonx und y, so wird diese auch eine eindeutige Funktion des Ortes auf unserer Riemann’schen Fla¨che sein, denn jedem Punkte derselben ist ein bestimmtes x und y zugeordnet, also auch ein bestimmter Wert von R(xy). Auf der Riemann’schen Fla¨che T der Funktion y ist also jede ratio- nale Funktion von x und y eine eindeutige Funktion des Ortes. Wir werden spa¨ter die Umkehr dieses Satzes beweisen (vgl. 44, S. 168). Betrachten wir nun das Integral w= ∫ x x0 dx y , so ist dieses aufT keine eindeutige Funktion des Ortes mehr, wohl aber auf der zerschnittenen Fla¨cheT′. Denn aufT′ bildet jede geschlossene Linie die vollsta¨ndige Begrenzung eines Theiles der Fla¨cheT′, auf derselben ist ferner y eine eindeutigeFunktionvonx.Erstreckenwirdaherdas Integralw einmal la¨ngs des Weges x0ax, das anderemal la¨ngs x0bx, so wird die geschlossene Liniex0axbx0 einenTheilderFla¨chevollsta¨ndigbegrenzenunddurchstetige AenderunginnerhalbdiesesTheileskannmandenWegx0bx indenWegx0ax u¨berfu¨hren. Es tritt nur ein Bedenken auf, na¨mlich das, dass bei dieser Ueberfu¨hrung einer der Punkte a1, a2, a3, a4 fu¨r den y= 0 wird oder der Punkt x=∞ u¨berschrittenwird.Wir sahenaber (Einleitung14,S.36),dasseinPunkt, fu¨r denderIntegrandunendlichwird, immervomIntegrationswege u¨berschritten werden kann, wenn das geschlossene Integral∫ _ a f(x)dx= 0 ist. Dies trifft aber fu¨r die Punkte a1, a2, a3, a4 zu. Denn setzen wir z. B. x−a1 =%eiϕ und halten % konstant, so ist y=% 1 2ei ϕ 2F(x),