Page - 160 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

160 II. Funktionen auf der Riemann’schen Fla¨che 41. Wir ha¨tten unsere Riemann’sche Fla¨che T durch irgend zwei an- dere dieselbe nicht zerstu¨ckelnde Schnitte A′, B′ in eine einfach zusam- menha¨ngende T1 verwandeln ko¨nnen und ha¨tten dadurch zwei andere Kon- stanten C′= ∫ B′ dx y , C′1 = ∫ A dx y als Elementarperioden erhalten. Fig. 44. NunsahenwiraberS.157,dassmaneinederKur- ven z. B.B′ immer durchB ersetzen kann, d. h. dass die KurveB′ genau so von einem Ufer vonA zu dem gegenu¨berliegenden fu¨hrt, ohne A weiter zu treffen, wieB und also istC′ =±C je nach dem Sinne, in demB′ durchlaufen wird. Dann wird aberA′ durch A ersetzbar und also auchC′1 =±C1. So z. B. kann A (Fig. 44) ersetzt werden durchA′ auch dem Sinne nach, da sie in derselben WeiseB u¨berschreitet, d. h. es ist ∫ A dy x = ∫ A′ dy x =C1 oder mit Ru¨cksicht auf den in 40 gefundenen Wert, dem sich ein analoger fu¨r A′ an die Seite stellt, ∣∣∣a2∫ a1 dy x = ∣∣∣a4∫ a3 dy x beide im oberen Blatte, das erste links, das andere rechts von der Geraden hin erstreckt. Ebenso ha¨tte man B durch B′, diese im entgegengesetzten Sinne des Fig. 45. Pfeiles (Fig. 44) ersetzen ko¨nnen, woraus dann ∣∣∣a3∫ a2 dy x = ∣∣∣a4∫ a1 dy x folgt,beide Integrale imoberenBlatte,das erste rechts, das zweite links von der Geraden hin erstreckt. Hieraus ersehen wir aber, dass, wenn wir die ur- spru¨ngliche Riemann’sche Fla¨che statt mittels der Ver- zweigungsschnitte a1a2 und a3a4 zu bilden, mit Hilfe der Schnitte a1a4 und a2a3 (Fig. 45) herstellen, dadurch die Elementarperi- oden fu¨r die nun etwa auftretenden KurvenA′,B′ die WerteC′1 =−C und C′=−C1 erhalten.