Page - 163 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

163 also dx√ A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4) =− dx ′√ A(1−a1x′)(1−a2x′)(1−a3x′)(1−a4x′) , und daher w(x) = ∫ x x0 dx√ A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4) =− ∫ x′0 x′ dx′√ A(1−a1x′)(1−a2x′)(1−a3x′)(1−a4x′) , wenn x′ den Weg beschreibt, der ihm vermo¨ge der Beziehung x = 1 x′ zu- kommt.AusderGleichungsiehtmanaberohneweiteres,dassw(x) fu¨rx=∞ oder x= 0 endlich bleibt, da das zweite Integral sich in der Umgebung von x′= 0 ganz regula¨r verha¨lt. 43. Da das Integral w(x) eine Funktion der komplexen Variabeln x ist, so wird durch dasselbe die Zahlenebene oder die Riemann’sche Fla¨che, auf welcherwirxdeuten,konformaufdieEbene, inderwirwdeuten,abgebildet. Bei dieser Abbildung bleiben die Winkel im Allgemeinen erhalten und nur fu¨r die Werte, fu¨r welche dwdx = 0 oder∞ ist, findet eine Ausnahme statt. Nun wird dwdx =∞ nur fu¨r x= a1, a2, a3, a4. Untersuchen wir daher die Abbildung der Umgebung von a1 der Riemann’schen Fla¨che auf die Ebene vonw. Wie wir eben sahen, ist w−wa1 = 2B(x−a1) 1 2 + 23B1(x−a1) 3 2 + · ·· , wenn fu¨r x= a1 . . .w=wa1 wird. Es entsprechen also jedem x zwei Werte vonw, aber diese Werte vonwkommen in der Umgebung vonwa1 miteinan- dernicht inKollision, sondernhabenaufder schlichtenEbeneumwa1 herum Platz; denn die beiden Werte sind w1−wa1 = (x−a1) 1 2{2B+ 23B1(x−a1)+ · ··} w2−wa1 =−(x−a1) 1 2{2B+ 23B1(x−a1)+ · ··}