Page - 164 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

164 II. Funktionen auf der Riemann’schen Fla¨che Fig. 46. und liegen also (Fig. 46) stets diametral einander gegenu¨ber in Bezug aufwa1. Daher wird jedem Wertew in der Umgebung vonwa1 ein ganz bestimmter Wert von (x−a1) entsprechen und dem diametral gegenu¨berliegenden Wertw′wird derselbe Wert (x−a1) entsprechen, nur wird w1−wa1 = (x−a1) 1 2{2B+ 23B1(x−a1)+ · ··} w′−wa1 =−(x−a1) 1 2{2B+ 23B1(x−a1)+ · ··} sein, d. h. ordnet man dem Punkte w den Punkt x im oberen Blatte der Riemann’schen Fla¨che zu, so wird w′ dem Punkte x im unteren Blatte entsprechen, da fu¨r diesen y, also auch √ x−a1 das entsprechende Vor- zeichen besitzt. Mit anderen Worten: Die Umgebung von a1 in den bei- den u¨bereinanderliegenden Bla¨ttern der Riemann’schen Fla¨che wird auf die schlichte Umgebung vonwai durch das Integralw abgebildet. Es ho¨rt in dem Punkte x= a1 fu¨rw=wa1 die isogonale Abbildung auf und zwei Werten von x und x′, fu¨r welche a1x und a1x′ den Winkel ϕmiteinander bilden, entsprechen die Werte w und w′, so dass wa1w und wa1w′ den Winkel ϕ 2 bilden. Denn setzt man x−a1 x′−a1 = eiϕ, so wird in erster Anna¨herung w−wa1 w′−wa1 = ei ϕ 2 , da man fu¨r sehr kleine Werte w−wa1 = 2B(x−a1) 1 2 setzen kann. Hieraus ergiebt sich, dass der Winkel (w′wa1w) = 12(x ′a1x) ist. Da ferner dwdx = 1 y nur null werden kann fu¨rx=∞, so ko¨nnte noch dieser Wert eine Ausnahmsstelle geben. Wir sahen aber (S. 163), dass sich fu¨r die Umgebung der Stelle x =∞ das Integral ganz regula¨r verha¨lt, also, dass die Umgebung dieses Punktes mit Erhaltung der Winkel auf die Umgebung eines bestimmten Punktesw abgebildet wird.