Page - 165 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

165 Fig. 47. Wirdenkenunsnun(Fig.47a)dieRiemann’scheFla¨che la¨ngsderKurven A undB durchschnitten, so dass wir aus jeder KurveA undB die beiden BegrenzungslinienA1A2 undB1B2 erhalten, die zusammengenommen die ganze Begrenzung vonT′ bilden. Wir setzen voraus, dassw im Punktem1, welcher der Schnittpunkt der BegrenzungslinienA1B2 ist, den Wertw1 ha- ben soll, dann ist der Wert vonw inm4 gleichw1+C. Lassen wir nunxdie LinieA1 durchlaufen, sowirdwvonw1 aus irgendeineKurveA ′ 1 beschreiben (Fig. 47b) und nachw2 gelangen, wennx nachm2 gelangt. Denken wir uns gleichzeitig mitx, welches la¨ngsA1 la¨uft, einen Punktx ′ verbunden, welcher la¨ngsA2 la¨uft, so dass entsprechende Punkte x und x ′ gerade einander ge- genu¨ber am Rande liegen, so wirdw(x′) auch eine LinieA′2 durchlaufen, die aber derartig mitA′1 im Zusammenhange steht, dass die Punktew(x) und w(x′) gerade immer umC von einander abstehen. Wird x nachm2, also x ′ nachm3 gelangen, so hatw den Wertw2 resp. w3 erhalten, und es ist die Strecke w1w4 =w2w3 =C nach unserer gela¨ufigen Deutung der komplexen Gro¨ssen. Vonm2,wowirmitxanlangten,durchlaufenwir (Fig. 47a)nundieLinie m2n2m3, wodurchw (Fig. 47b) irgend eine vonw2 nachw3 gehende Kurve B′1 beschreibt. Der Punkt x′ wird gleichzeitig die KurveB2 oderm1n4m4 beschreiben, also w′ eine Kurve B′2, deren entsprechende Punkte um die KonstanteC1 von denen vonB ′ 1 entfernt sind. Es ist w2w1 =w3w4 +C1. Hierdurch ist die Begrenzungm1n1m2n2m3n3m4n4m1 der Fla¨che T ′ in den Zugw1w2w3w4w1 in derw-Ebene abgebildet. Dieses krummlinige Par- allelogramm ist nun das Bild der zerschnittenen Riemann’schen Fla¨che T′. Denn da aufT′ das Integralw nicht unendlich wird, so kann die Abbildung