Page - 167 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

167 lelogramme alle aufeinander legt. Solchen Werten vonw entspricht derselbe Punkt der Riemann’schen Fla¨che, d. h. derselbe Wert vonx und y. 44. Betrachten wir nun in w= ∫ x x0 dx y w als unabha¨ngige Variable, dann wird das Integralx und zufolge y= √ A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4) auch y als Funktion vonw definiren. Wir setzen x=f(w) y=F(w). Nach dem Vorstehenden erkennen wir nun, dass dem Werte w und w+ mC+m1C1, wom undm1 ganze Zahlen sind, derselbe Wert von x und y entsprechen muss, also x=f(w) =f(w+mC+m1C1) y=F(w) =F(w+mC+m1C1) d.h.xundy sinddoppeltperiodische Funktionen vonw.Daaber jedemWerte vonw in einem Parallelogramm ein und nur ein bestimmter Punkt auf T entspricht, dem ein bestimmter Wert vonxund y zugeho¨rt, so sindxund y eindeutige doppeltperiodische Funktionen vonw. Da in jedem Blatte der Riemann’schen Fla¨che ein Punktx=∞ existirt, so wird x = f(w) nur fu¨r zwei Werte von w innerhalb eines jeden Peri- odenparallelogrammes unendlich d. h.x ist eine doppeltperiodische Funktion zweiter Ordnung vonw. Wie man aus y= √ A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4), oderauchausderEntwicklungS.144erkennt,mussy eine doppeltperiodische Funktion vierter Ordnung sein. SollF eine eindeutige Funktion des Ortes auf der Riemann’schen Fla¨che T sein, dann muss dieselbe ihren Wert wieder erhalten, wenn x auf einem beliebigen Wege aufT in seinen Ausgangspunkt zuru¨ckkehrt. Da aberT auf diew-Ebenesoabgebildet ist,dass jedemPunktevonT jeeinPunkt ineinem derParallelogrammeentspricht, sowirddemWege,denx inT beschreibt, ein bestimmter Weg desw in derw-Ebene entsprechen, der mo¨glicherweise aus einem der Parallelogramme in ein anderes fu¨hrt. Es ist aberF als eindeutige