Page - 171 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

171 Setzen wir nun z1 = 0, y1 = 1, so wirdA= 0 sich ergeben und daher ist∫ (z,y) (0,1) dz y =− ∫ (z,−y) (0,−1) dz′ y′ . Wir setzen u= ∫ (z,y) (0,1) dz y , v= ∫ (z,−y) (0,1) dz′ y′ , so dass also, wenn z= f(u), y=F(u) die doppeltperiodischen Funktionen vonu sind, z=f(v), y=−F(v) wird, d. h. z nimmt fu¨r u und v dieselben Werte, y gleiche entgegengesetzt bezeichnete Werte an. Es kann∫ (z,−y) (0,1) dz′ y′ = ∫ (0,−1) (0,1) dz′ y′ + ∫ (z,−y) (0,−1) dz′ y′ = ∫ (0,−1) (0,1) dz′ y′ − ∫ (z,y) (0,1) dz y oder v= 2K−u gesetzt werden, da ∫ (0,−1) (0,1) dz′ y′ = 2 ∣∣∣1∫ 0 dz′ y′ = 2K Fig. 50a. sich ergiebt, wenn man das Integral rech- ter Hand so nimmt, dass der Integrations- weg die nebenstehende gezeichnete Kurve (0,1)1(0,−1) ist. Somit folgt, dass wenn f(u) =f(v) ist, u=−v+2K+mAK+m12K1 =−v−2K+(m+1)4K +m12K1      (4) ist,wennuundvnicht selbstkongruenteWer- te sein sollen, d. h. wenn u 6=v+m4K+m12K1 sein soll. Die Werte u und 2K−u oder−2K−u, welch letztere nach den Perioden kongruent sind, liegen, wie man sieht, in einem der Parallelogram- me, auf welche die Riemann’sche Fla¨che abgebildet wird und sind diejenigen, welche demselben z und gleichen entgegengesetzt bezeichneten y angeho¨ren.