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172 III. Das elliptische Normalintegral Die Funktion z = f(u) ist also doppeltperiodisch, eindeutig und von zweiter Ordnung, welche fu¨r u und 2K−u dieselben Werte annimmt. Es ist f(0) = f(2K) = 0 und f(K) = 1, da u = ∫z 0 dx y fu¨r z = 0 verschwindet und fu¨r z= 1 den WertK annimmt. Fig. 51. 46. Es sei u= α fu¨r den Punkt z=∞ des oberen Blattes, dann wirdu= 2K−α fu¨r den Punkt z=∞des unteren Blattes. Es ist dann α= ∫∞ 0 dz y . Wir erstrecken das Integral la¨ngs 0m∞ (Fig. 51), welche Kurve ganz im oberen Blatte verlaufen soll, also ist α= ∫ 0m∞ dz y . Wir konstruiren eine zweite Kurve 0n∞, welche aus der ersten 0m∞ ent- steht, wenn man auf dem Radiusvektor des Punktesm die Strecke 0m in entgegengesetzter Richtung nach 0n abtra¨gt. Dann wird, wenn man inαdie Substitution z=−z′macht, α=− ∫ 0n∞ dz′ y′ , da y das Vorzeichen nicht a¨ndert, d. h. α=− ∫ 0n∞ dz y , wenn die Integrationsvariable wieder mit z bezeichnet wird. Es ist daher 2α= ∫ 0n∞ dz y + ∫ 0m∞ dz y = ∫ 0n∞m∞ dz y . Nun begrenzen die LinienA und∞n0m∞ zusammengenommen einen Theil des oberen Blattes vollsta¨ndig, d. h. die Kurve∞n0m∞ ist in die KurveAdurch stetige Umformung u¨berfu¨hrbar, also ist∫ ∞n0m∞ dz y = ∫ A dz y = 2K1.