Page - 173 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

173 OderauchdieLinie∞n0m∞ u¨berschreitet (Fig. 51)bei bdieKurveB, fu¨hrt also gerade so wie die KurveA und in derselben Richtung von einem Ufer vonB zum anderen, also muss∫ b0m∞nb dz y = ∫ A dz y = 2K1. sein. Es ist daherα=K1 und wir ersehen also, dassf(K1) =f(2K±K1) = ∞ ist. 47. Wir wissen aus der Theorie der doppeltperiodischen Funktionen, wie solchezukonstruirensind.Bestimmenwiralsoϑ-Funktionen,derenPerioden ω= 2K undω′= 2K1 sind, fu¨r die q= epi ω′ ω i= epi K1 K i ist, so wird∗) z=f(u) = ϑ3 ϑ2 ϑ1(u) ϑ0(u) sein;denndieFunktionrechterHand istdoppeltperiodisch,mitdenPerioden 2ω= 4K,ω′= 2K1, sie ist eindeutig, verschwindet fu¨r u= 0, u=ω= 2K, wird unendlich fu¨r u=K1 = ω′ 2 , u=ω+ ω′ 2 = 2K+K1 und nimmt fu¨r ω2 =K den Wert 1 an, wodurch sie vollsta¨ndig bestimmt ist und mit z = f(u) identisch sein muss. Wir ersehen also, dass unsere Differentialgleichung ( dz du )2 = (1−z2)(1−κ2z2) (1) durch die Funktion z= su= ϑ3 ϑ2 ϑ1(u) ϑ0(u) (5) integrirt wird. Dann liefert die Gleichung 36 S. 128, daG= 1 ist, ω= 2K=piϑ23. ∗) Sollte inK1K derKoeffizientvon inegativ sein, sokannman fu¨rK1 · ··−K1 einfu¨hren. Man kann u¨brigens zeigen, dass bei unserer Wahl der Gro¨ssenK undK1 der Koeffizient i in K1K stets positiv ist. Vergleiche hieru¨ber: Ko¨nigsberger, Theorie der elliptischen Funktionen , I. Theil, S. 295–299.