Page - 179 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

179 ist.α, β, γ, δ sind bestimmte Gro¨ssen. Wir setzen R(x) =A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4) (7) und fu¨hren z durch die Gleichung x= α+βz γ+δz (8) ein. Dann wird R(x) = R1(z) (γ+δz)4 (9) wobeiR1(z) wieder eine ganze rationale Funktion des 4. Grades von zwird, dieα,β,γ, δ als willku¨rliche Konstanten entha¨lt. Wir verfu¨gen nun u¨ber die letzteren so, dass R1(z) =B(1−z)(1+z)(1−κz)(1+κz) =B(1−z2)(1−κ2z2) =B[1−(1+κ2)z2 +κ2z4] wird. Hierdurch sind fu¨r α, β, γ, δ drei Gleichungen gegeben, in denen sie homogen vorkommen, und aus welchen sich die drei Verha¨ltnisseα: β : γ : δ ergeben. Die Gleichungen selbst ergeben sich aus der Bedingung, dass in R1(z) die Koeffizienten vonz 3 undz verschwinden sollen und derKoeffizient von z2 gleich sein muss der entgegengesetzt bezeichneten Summe aus den Koeffizienten von z0 und z4. DieseBedingungensindnunnochallevertra¨glichmitder,dassderModul von |κ|<1 ist. In der That, soll R(x) =B (1−z2)(1−κ2z2) (γ+δz2)4 und x= α+βz γ+δz sein, so muss, wennR(x) = 0, also x=a1, a2, a3, a4 ist, auch (1−z2)(1− κ2z2) = 0 sein, daher s=±1,±1κ, d. h. den Werten a1, a2, a3, a4 von x entsprechen in irgend einer Reihenfolge die Werte +1,−1, +1κ,−1κ. Setzen wir also fest, dass fu¨r x=a1,a2,a3,a4 z= +1,−1, 1 κ ,−1 κ ,