Page - 180 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

180 III. Das elliptische Normalintegral wird, so muss nach dem in der Einleitung sub 5, S. 11 bewiesenen Satze das Doppelverha¨ltnis erhalten bleiben, also( κ−1 κ+1 )2 = a1−a3 a1−a4 · a2−a4 a2−a3 = ε (10) sein. Diese Gleichung ist fu¨rκ eine reziproke und la¨sst sich alsoκ stets so bestimmen, dass |κ|<1 wird. Hat manκ bestimmt, so folgt aus (8) dx= βγ−αδ (γ+dz)2 dz und da √ R(x) = √ B √ (1−z2)(1−κ2z2) (γ+δz)2 (11) sich ergiebt, so folgt dx√ R(x) = βγ−αδ√ B dz√ (1−z2)(1−κ2z2) =M dz√ (1−z2)(1−x2z2)          (12) woM eine Konstante ist. Um diese zu bestimmen, braucht man nur ein Paar entsprechender Werte vonxund z zu kennen, fu¨r die nichtR(x) undR(z) verschwinden. Es sei fu¨r z= 0,x= αβ =x1, dann folgt( dx dz ) z=0 =M √ R(x1), worausM bestimmbar. Nun soll z= 1, −1 werden fu¨rx=a1, a2, also muss x−a1 x−a2 =A12 z−1 z+1 (13a) sein, woA12 eine Konstante ist. Da aber fu¨r x=a3, a4; z= 1 κ , −1 κ wird, so ist a3−a1 a3−a2 =A12 1−κ 1+κ a4−a1 a4−a2 =A12 1+κ 1−κ,