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184 III. Das elliptische Normalintegral da aber 1κ und−1κ gleichzeitig inR1(z) auftreten, so werden wir blos drei verschiedene Werte von κ erhalten, wenn wir die Zuordnung der Grossen x=a1,a2,a3,a4 und z= 1,−1, 1κ,−1κ in beliebiger Weise vornehmen. Nun wissen wir, dass das Doppelverha¨ltnis εdann und nur dann reell ist, wenn die vier Punkte a1,a2,a3,a4 auf einem Kreise liegen. Ist diess also der Fall, so ist einer der Werte ε oder 1−εpositiv und daher ist κ= 1−√ε 1+ √ ε oder κ= 1−√1−ε 1+ √ 1+ε reell und absolut genommen kleiner als 1. Liegen die vier Punkte nicht auf einemKreise, sowirddasDoppelverha¨ltniskomplexundauchκ istkomplex. 51. Ist R(x) =Ax3 +Bx2 +Cx+D=A(x−a1)(x−a2)(x−a3) blos vom dritten Grade, so a¨ndert das die Betrachtungen nicht wesentlich. Setzt man x= α+βz γ+δz , so wird R(x) = R1(z) (γ+δz)3 = (γ+δz)R1(z) (γ+δz)4 , wobeiR1(z) jetztblosvomdrittenGrade inz ist.Nunkannmanaberwieder (γ+δz)(R1z) =A(1−z2)(1−κ2z2) setzen und erha¨lt R(x) = A(1−z2)(1−κ2z2) (γ+δz)4 , worauf dieselben Betrachtungen wie fru¨her folgen. Den Werten: x=a1,a2,a3,∞ werden die Werte z= 1,−1, 1 κ ,−1 κ zugeordnet sein, denn (γ+ δz) muss verschwinden, wenn eine der Gro¨ssen 1−z, 1+z, 1−κz, 1+κz verschwindet, also z. B. wenn z=−1 κ