Page - 186 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

186 III. Das elliptische Normalintegral Jacobi nannte ϕ als Funktion von u betrachtet die Amplitude von u und schrieb ϕ=amu. (18) Da z= sinϕ gesetzt wurde, so folgt z= sinamu (19) und wir sehen, dass diese Funktion vonuunsere Funktion su ist. Da cosϕ=√ 1−sin2ϕ ist, so ersieht man, dass unsere Funktion cu als cosamu zu bezeichnen ist, daϕ=amu ist.EbensohabenwirdieJacobi’scheFunktion ∆amu= √ 1−κ2sinamumit∆ubezeichnet. Die PeriodentheileK undK1 ergaben sich K= ∣∣∣1∫ 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2), K1 = ∫ 1 κ 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) und da fu¨r z= 1· ··ϕ= pi2 folgt, so ist K= ∫ pi 2 0 dϕ√ 1−κ2sinϕ . (20a) Jacobi nannteK das ganze elliptische Integral. K1 la¨sst sich aber genau auf die Form vonK bringen. Setzt man na¨mlich z′= 1 κ′ √ 1−κ2z2, (21) wobeiκ′2 +κ2 = 1 . . .κ′= √ 1−κ2 gesetzt wird, so wird dz′=−κ 2 κ′ zdz√ 1−κ2z2. Da ferner κ′ √ 1−z′2 = iκ √ 1−z2 und √ 1−κ′2z′2 =κz ist, so folgt durch Multiplikation beider Gleichungen κ′ √ (1−z′2)(1−κ′2z′2) = iκ2z √ 1−z2,