Page - 188 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

IV. Integrale II. und III. Gattung. 53. Neben dem Integral I. Gattung, welches fu¨r keinen Wert von (x,y) auf der Riemann’schen Fla¨che unendlich wird, und welches sich stets auf das Normalintegral I. Gattung reduziren la¨sst, fu¨hrte Legendre noch zwei andere Normalformen von elliptischen Integralen ein, die er Normalintegrale II. und III. Gattung nannte, und die wir nun betrachten wollen. Als Normalintegral II. Gattung fu¨hrte er das Integral J= ∫ z 0 z2dz√ (1−z2)(1−κ2z2) (22) ein. Dieses Integral ist dadurch charakterisirt, dass es unendlich wird, wie z fu¨r z =∞, d. h. einfach algebraisch, fu¨r gewisse Punkte auf der Rie- mann’schen Fla¨che der Funktion y= √ (1−z2)(1−κ2z2). Fu¨rz= 1,−1, 1κ,−1κ erkennenwir,wieaufS.161,dassJ nichtunendlich wird. Betrachtenwiraber jetztdenPunktz=∞undsetzenwirzudemBehufe z= 1 ζ und sei ζ1 ein kleiner Wert, dem also ein sehr grosser Wert z= z1 entspricht. Das Integral J1 = ∫ z1 0 z2dz√ (1−z2)(1−κ2z2) hat einen endlichen Wert und es ist J=J1 + ∫ z z1 z2dz√ (1−z2)(1−κ2z2), oder z= 1 ζ · ··dz=−dζ ζ2 gesetzt, J=J1− ∫ ζ ζ1 dζ ζ2 √ (ζ2−1)(ζ2−κ2). Nun entwickeln wir die Wurzelgro¨sse in der Umgebung ζ= 0, indem wir den Zweig derselben wa¨hlen, fu¨r welchen dieselbe sich auf κ reduzirt fu¨r ζ= 0, der andere ist durch den Wert−κ fu¨r ζ= 0 bestimmt.