Page - 193 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

193 sein. Nun ist fu¨r den Punkt (ak,bk) dΠ dz =− nA (n) k (z−ak)n+1 +· ··− A (1) k (z−ak)2 + Mk z−ak +B (0) k +B (1) k (z−ak)+· ·· , also ∫ _ ak dΠ= 2piiMk. Fu¨r die Punkte 1,−1, 1κ,−1κ sollΠ endlich sein, also kann dΠdz nur so unendlich werden, dass, wennα einer derselben ist, dΠ dz = A (z−α)12 +B(z−α)12 + · ·· ist, da sich y fu¨r diese Punkte nur nach gebrochenen Potenzen von (x−α) entwickeln la¨sst,wiewir schonfru¨her (S.162)sahen.Wu¨rden in dΠdz Potenzen von der Form Am (z−α)m2 auftreten, wobeim>1 wa¨re, so wu¨rde dΠ dz = Am (z−α)m2 + Am−1 (z−α)m−12 + · ··+ A (z−α)12 + · ·· und Π=− 2 m+1 Am (z−α)m+12 − 2 m Am−1 (z−α)m2 −···+2A(z−α)12 + · ·· fu¨rz=aunendlich;dadiesesnichtstattfindensoll, somussAm= 0,Am−1 = 0 . . . ,A2 = 0 und die gegebene Form die stattfindende sein. Dann ist aber ∫ _ α dΠ= 0, dakeinGlied inderEntwicklung dΠdz auftritt,welchesvondererstenOrdnung unendlich wu¨rde. Wu¨rde aber selbstΠ fu¨r z = α unendlich, so sieht man aus der Ent- wicklung, dass man nur den Koeffizienten des Gliedes (z−α)−1 zu beachten braucht und wenn dieser von Null verschieden ist, ihn mit unter die Mk aufzunehmen, um die Richtigkeit der weiteren Schlu¨sse nicht zu alteriren. Daher ist ∫ dΠ= 2pii(M1 +M2 + · ··+Mn) = 0,