Page - 195 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

195 55. Ist y2 =Ax4 +Bx3 +Cx2 +Dx+E undB von Null verschieden, wennA verschwindet, so dass y2 eine rationale Funktion des 4. oder 3. Grades vonx ist, so nennt man U= ∫ f (x,y)dx, (24) wo f eine rationale Funktion von x und y ist, ein allgemeines elliptisches Integral. Wir beweisen folgenden Satz: Jedes elliptische Integral von der Form (24) la¨sst sich zuru¨ckfu¨hren auf eine rationale Funktion vonx und y, einen Logarithmus einer solchen Funk- tion, ein Normalintegral I. und II. Gattung und auf Integrale III. Gattung mit bestimmten Parametern. Wir transformiren vor allemR(x) durch die Substitution x= α+βz γ+δz in die Form R(x) = R1(z) (γ+δz)4 =A (1−z2)(1−κ2z2) (γ+δz)4 , wodurch U= ∫ f1 ( z, √ P(z) ) dz, wird, wenn wir η2 =P(z) = (1−z2)(1−κ2z2) setzen. Nun ist, wenn ri(z) eine rationale ganze Funktion von z bedeutet, f1 ( z, √ P(z) ) = r1(z)+r2(z) √ P(z) r3(z)+r4(z) √ P(z) , da durch [√ P(z) ]2n+1 =P(z)n · √ P(z) alle ho¨heren als 1sten Potenzen der √ P(z) verschwinden, indem sie als ratio- nale Funktionen von z in die Funktion f1 eintreten. Multiplizirt man Za¨hler und Nenner mit r3(z)−r4(z) √ P(z),