Page - 198 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

198 IV. Integrale II. und III. Gattung wenn % eine rationale Funktion von z und y bedeutet undA undB gewisse ausAλ,Bλ und a0 . . .aν undκ2 zusammengesetzte Konstanten sind. Was das letzte Integral anbelangt, so fu¨hrt dieses auf elliptische Integrale III. Gattung. Denn es ist p(ζ) q(ζ) = A1 ζ−a21 + A2 ζ−a22 + A3 ζ−a23 + . . . An ζ−a2n , wenn q(ζ) =A(ζ−a21)(ζ−a22)· ··(ζ−a2n) ist. Da p(ζ) ho¨chstens vom (n−1)ten Grade ist, so muss A1 +A2 +A3 + · ··+An= 0 sein. Wenn Πaν(z) = ∫ dz (z2−a2ν) √ (1−z2)(1−κ2z2) gesetzt wird, so wird∫ p(z2) q(z2) dz η =A1Πa1(z)+A2Πa2(z)+ · ··+AnΠan(z), so dass wir schliesslich erhalten U=V(z)+V ′(z2,η)+%(z,η)+AJ+Bu+ n∑ ν=1 AνΠaν(z), (25) was das ausgesprochene Theorem beweist. Wenn man bedenkt, dass aus x= α+βz γ+δz , z= α−γx −β+δx, und aus y= Aη (γ+δz)4 , η= y A (γ+δz)4 = y (−β+δx)4 (αδ−βγ)4 A folgt, dass somit z und η sich rational durch x und y ausdru¨cken, also in den obigen Funktionen jene durch diese ersetzt werden ko¨nnen, so ersieht man, dass obige Funktionen in (25) ihre Art beibehalten als Funktionen von xund y.