Page - 200 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

V. Berechnung der Integrale I., II. und III. Gattung. 56. Wir schreiten zuerst zur Berechnung des Integrales I. Gattung u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) (26) unter der Voraussetzung, dass |x|< 1 ist, was, wie wir sahen, durch eine passende Transformation stets bewirkt werden kann. Unter dieser Voraussetzung ist und K= ∣∣∣1∫ 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) = ∫ pi 2 0 dϕ√ 1−κ2sin2ϕ K′= ∣∣∣1∫ 0 dz√ (1−z2)(1−κ′2z2) = ∫ pi 2 0 dϕ√ 1−κ′2sin2ϕ (27) reell und positiv, wennκ reell ist. Fu¨r imagina¨reκ ist aber in K1 K = iK′ K der Koeffizient von i stets positiv. (Vergleiche die Note S. 173.) Setzt man nun 2K=ω, 2K1 = 2iK ′=ω′ und konstruirt dieϑ-Funktionen mit Hilfe vonω,ω′, was mo¨glich ist, da der Koeffizient von i in ω ′ ω = i K′ K positiv ist, so kann man fu¨r jeden gegebenen Wert vonu z= ϑ2 ϑ3 ϑ1(u) ϑ0(u) (28) berechnenunddas Integral (26)giebtunsumgekehrt fu¨r jedenWertvonzbis auf Vielfache von 4K und 2K1 das zugeho¨rigeu. Um einen der Werte vonu in eine konvergente Reihe zu entwickeln, verfahren wir folgendermassen. Fu¨r Werte von z, die der Bedingung |κz|<1 genu¨gen, wird die Reihe (1−κ2z2)−12 = 1+ 1 2 (κz)2 + 1 ·3 2 ·4(κz) 4 + · ··+ 1 ·3· ··2n−1 2 ·4 · ··2n (κz) 2n+ · ·· konvergiren, und es wird∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) = ∫ z 0 dz√ 1−z2 [ 1+ 1 2 κ2z2 + 1 ·3 2 ·4κ 4z4 + · ·· ] (a)