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V. Berechnung der Integrale I., II. und III. Gattung.
56. Wir schreiten zuerst zur Berechnung des Integrales I. Gattung
u= ∫ z
0 dz√
(1−z2)(1−κ2z2) (26)
unter der Voraussetzung, dass |x|< 1 ist, was, wie wir sahen, durch eine
passende Transformation stets bewirkt werden kann.
Unter dieser Voraussetzung ist
und K= ∣∣∣1∫
0 dz√
(1−z2)(1−κ2z2) = ∫ pi
2
0 dϕ√
1−κ2sin2ϕ
K′= ∣∣∣1∫
0 dz√
(1−z2)(1−κ′2z2) = ∫ pi
2
0 dϕ√
1−κ′2sin2ϕ (27)
reell und positiv, wennκ reell ist. Fu¨r imagina¨reκ ist aber in
K1
K = iK′
K
der Koeffizient von i stets positiv. (Vergleiche die Note S. 173.)
Setzt man nun
2K=ω, 2K1 = 2iK ′=ω′
und konstruirt dieϑ-Funktionen mit Hilfe vonω,ω′, was mo¨glich ist, da der
Koeffizient von i in ω ′
ω = i K′
K positiv ist, so kann man fu¨r jeden gegebenen
Wert vonu
z= Ï‘2
Ï‘3 Ï‘1(u)
Ï‘0(u) (28)
berechnenunddas Integral (26)giebtunsumgekehrt fu¨r jedenWertvonzbis
auf Vielfache von 4K und 2K1 das zugeho¨rigeu. Um einen der Werte vonu
in eine konvergente Reihe zu entwickeln, verfahren wir folgendermassen.
Fu¨r Werte von z, die der Bedingung |κz|<1 genu¨gen, wird die Reihe
(1−κ2z2)−12 = 1+ 1
2 (κz)2 + 1 ·3
2 ·4(κz)
4 + · ··+ 1 ·3· ··2n−1
2 ·4 · ··2n (κz)
2n+ · ··
konvergiren, und es
wird∫
z
0 dz√
(1−z2)(1−κ2z2) = ∫ z
0 dz√
1−z2 [
1+ 1
2 κ2z2 + 1 ·3
2 ·4κ 4z4 + · ·· ]
(a)
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher