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d. h. bleibt z dasselbe und wird fu¨r
y= √
1−z2 · √
1−κz2
eingefu¨hrt,
− √
1−z2 · √
1−κ2z2,
so geht u u¨ber in u′ = 2K−u. Dies stimmt mit den S. 172 gefundenen
Resultaten vollkommen u¨berein.
Aenderungen um die andere Periode 2K1 ko¨nnen hier nicht auftreten,
da wir |κz| < 1 als Konvergenzbedingung aufstellten, also z den Punkt
1
κ nicht umkreisen kann, mithin ein Unbestimmtheit derart nicht eintreten
kann, dass z einen der LinieA, Fig. 49, a¨quivalenten Weg beschreibt, weil z
immer innerhalb des mit der La¨nge |1κ|beschriebenen Kreises bleiben muss.
Es lassen sich u¨brigens Reihenentwickelungen aufstellen, die dieser Be-
schra¨nkung fu¨r z nicht unterliegen, und die fu¨r jedes z konvergiren, wie Herr
Weierstrass in seinen Vorlesungen u¨ber elliptische Funktionen gezeigt hat.
Diese lassen auch die Unbestimmtheit von u bezu¨glich der anderen Periode
2K1 ersehen.
57. Wollten wir nun zur Berechnung der Integrale II. und III. Gattung
u¨bergehen, so wu¨rden wir sehen, dass wir hierzu dieϑ-Funktionen fu¨r einen
beliebigen Wert von u zu berechnen im Stande sein mu¨ssen. Nun schreiten
dieϑ-Funktionen nach Potenzen von
q= epii ω′
ω = e−pi K′
K
fort.
Manko¨nntenundieseGro¨sseberechnen, indemmanKundK1 berechnet.
Aber wie die Formel (30) zeigt, konvergirt die Reihe fu¨rK schlecht, wennκ
gro¨sser als 12 ist. Man ko¨nnte eine a¨hnliche Reihe fu¨rK ′ aufstellen, die von
κ′ genausoabha¨ngtwie in (30)K vonκ.Ueberdiess ist, daK′undK vonκ
abha¨ngen,qbloseineFunktionvonκundes ist einUmweg, zuerstKundK′
zuberechnenumdann qberechnenzuko¨nnen.Es istwu¨nschenswert qdirekt
ausκ durch eine hinreichend konvergente Reihenentwicklung zu berechnen.
Diess wollen wir thun.
Wir setzenκ2 =λund stu¨tzen uns auf die S. 94 aufgestellte Formel
√
κ= 4
√
λ= ϑ2
ϑ3 = 2q 1
4 ∑∞
0 q n(n−1)
1+2 ∑∞
1 q n2
λ 1
4 = 2q 1
4(1+2q2 +2q6 + · ··)
1+2q+2q4 +2q9 + · ·· , (a)
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher