Page - 203 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

203 d. h. bleibt z dasselbe und wird fu¨r y= √ 1−z2 · √ 1−κz2 eingefu¨hrt, − √ 1−z2 · √ 1−κ2z2, so geht u u¨ber in u′ = 2K−u. Dies stimmt mit den S. 172 gefundenen Resultaten vollkommen u¨berein. Aenderungen um die andere Periode 2K1 ko¨nnen hier nicht auftreten, da wir |κz| < 1 als Konvergenzbedingung aufstellten, also z den Punkt 1 κ nicht umkreisen kann, mithin ein Unbestimmtheit derart nicht eintreten kann, dass z einen der LinieA, Fig. 49, a¨quivalenten Weg beschreibt, weil z immer innerhalb des mit der La¨nge |1κ|beschriebenen Kreises bleiben muss. Es lassen sich u¨brigens Reihenentwickelungen aufstellen, die dieser Be- schra¨nkung fu¨r z nicht unterliegen, und die fu¨r jedes z konvergiren, wie Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen u¨ber elliptische Funktionen gezeigt hat. Diese lassen auch die Unbestimmtheit von u bezu¨glich der anderen Periode 2K1 ersehen. 57. Wollten wir nun zur Berechnung der Integrale II. und III. Gattung u¨bergehen, so wu¨rden wir sehen, dass wir hierzu dieϑ-Funktionen fu¨r einen beliebigen Wert von u zu berechnen im Stande sein mu¨ssen. Nun schreiten dieϑ-Funktionen nach Potenzen von q= epii ω′ ω = e−pi K′ K fort. Manko¨nntenundieseGro¨sseberechnen, indemmanKundK1 berechnet. Aber wie die Formel (30) zeigt, konvergirt die Reihe fu¨rK schlecht, wennκ gro¨sser als 12 ist. Man ko¨nnte eine a¨hnliche Reihe fu¨rK ′ aufstellen, die von κ′ genausoabha¨ngtwie in (30)K vonκ.Ueberdiess ist, daK′undK vonκ abha¨ngen,qbloseineFunktionvonκundes ist einUmweg, zuerstKundK′ zuberechnenumdann qberechnenzuko¨nnen.Es istwu¨nschenswert qdirekt ausκ durch eine hinreichend konvergente Reihenentwicklung zu berechnen. Diess wollen wir thun. Wir setzenκ2 =λund stu¨tzen uns auf die S. 94 aufgestellte Formel √ κ= 4 √ λ= ϑ2 ϑ3 = 2q 1 4 ∑∞ 0 q n(n−1) 1+2 ∑∞ 1 q n2 λ 1 4 = 2q 1 4(1+2q2 +2q6 + · ··) 1+2q+2q4 +2q9 + · ·· , (a)