Page - 204 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

204 V. Berechnung des Normalintegrals indem wir voraussetzen, dass in denϑ-Funktionen q= e ω′ ω ipi= e−pi K′ K eingefu¨hrt wurde. Unsere Aufgabe wird sein, aus der Gleichung fu¨r √ κ den Wert q zu berechnen. Erhebt man beiderseits zur 4. Potenz, so wird λ= 16q(1+q2 +q6 + · ··)4 (1+2q+2q4 · ··)4 . Fu¨r sehr kleine Werte von |q|wird, da der Nenner nahezu 1 ist, |λ| sehr kleine Werte annehmen, also kann man λ= 16q(1+aq+aq2 + · ··) setzen. Aus dieser Beziehung folgt aber, dass in erster Anna¨herung fu¨r sehr kleine |q| q= 1 16 λ wird, also dass fu¨r kleine |λ| eine Reihenentwicklung q= 1 16 λ(1+αλ+βλ2 + · ··) existirt, die fu¨r kleine |λ| konvergirt. Wir setzen q= 1 16 λ[1+P(λ)], (b) wobeiP(λ) die Potenzreihe αλ+βλ2 + · ·· bedeutet, alsoP(0) = 0 ist. Wir wollen nun zeigen, dassP(λ) auch noch fu¨rλ= 1 konvergirt und lauter positive Glieder besitzt, sobaldκ reell ist, welchen Fall wir fu¨r das Folgende der Einfachheit wegen vorauszusetzen. Fu¨hren wir nebenλ 1 4 = √ x auch (1−λ)14 =λ′14 = √ κ′= ϑ0 ϑ3 = 1+2 ∑∞ 1 (−1)nqn 2 1+2 ∑∞ 1 q n2 ein und setzen λ 1 4 1 = 1−λ′14 1+λ′ 1 4 . (c)