Page - 205 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

205 Da wir wissen, dass fu¨r reelle Werte vonκ auchκ′ reell und positiv ist, so istλ′ 1 4 reell undλ 1 4 1 auch reell und kleiner als 1. Nun ist 1−λ′14 1+λ′ 1 4 = ϑ3−ϑ0 ϑ3 +ϑ0 und da ϑ3 = 1+2q+2q 4 +2q9 +2q16 + · ··+2qn2 ϑ0 = 1−2q+2q4−2q9 +2q16−···+(−1)n2qn2 so ist ϑ3−ϑ0 = 4q [ 1+q8 +q24 + · ··+q4n(n−1) + · ··] ϑ3 +ϑ0 = 2 [ 1+2q4 +2q16 + · ··+2q4n2+ · ··], mithin λ 1 4 1 = 1−(1−λ)14 1+(1−λ)14 = 2q(1+q4·2 +q4·6 +q4n(n−1) + · ··) 1+2q4 +2q4·4 + · ··+2q4n2+ · ·· . (a1) AusdieserGleichungersehenwir,dassderUebergangvonλzuλ1 a¨quivalent ist dem Uebergange von q zu q4, wie man aus dem blossen Anblick der Formeln (a) und (a1) ersieht. Nun ist fu¨r sehrkleineλderWerte (1−λ)14 nahezugleich1unddaher1− (1−λ)14 oderλ 1 4 1 selbst sehrkleinundeswirdsichqdaheralseinePotenzreihe von λ1 entwickeln lassen, die mit λ1 selbst verschwindet. Nach der obigen Bemerkung aber, dass bei dem Uebergange vonλ zuλ1 . . .q u¨bergeht in q 4, ersieht man aus (b), dass q4 = λ1 16 [ 1+P(λ1) ] , P(0) = 0 (b1) wird. Geht man nun vonλ1 zuλ2 auf dieselbe Art u¨ber, wie man vonλ zuλ1 u¨berging, d. h. setzt man λ2 = 1−(1−λ1) 1 4 1+(1−λ1) 1 4 , (a2) so muss q(4) 2 = λ2 16 [ 1+P(λ2) ] , P(0) = 0 (b2)