Page - 211 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

211 Aus (d) folgt schliesslich q= λ 16 eΠ(λ) = λ 16 (1+P(λ)) (e) als Potenzreihe vonλ, von der wir nun wissen, dass sie nicht blos fu¨r |λ|<1, sondern auch fu¨r |λ|= 1 konvergirt, da esΠ(λ) thut und dass sie gerade so wieΠ(λ) lauter positive Koeffizienten besitzt. Es istP(0) = 0 undP(1) = 15. DawirnundenKonvergenzbereichderPotenzreihe,alsodieGiltigkeitder Entwicklung(e)kennen,soko¨nnenwirauchdieKoeffizientenderPotenzreihe P(λ) bestimmen. Setzen wir fu¨r einen Augenblickλ 1 4 1 =y, so wird y= 2q(1+q8 +q24 + · ··) 1+2q4 +2q16 + · ·· und (1+2q4 +2q16 + · ··)y= 2q(1+q8 +q24 + · ··) q= 12y+(q 4 +q16 + · ··)y−(q9 +q25 + · ··), (d) also in erster Anna¨herung q1 = 1 2y; geht man mit diesem Werte in die Gleichung (d) ein, so folgt q= 12y+(q 4 1 +q 16 1 + · ··)y−(q91 +q251 + · ··) oder, wenn man wieder nur die na¨chste Anna¨herung nimmt, q2 = 1 2 y+ 1 24 y5. Geht man mit dieser wieder in die Gleichung ein, so findet man q3 = y 2 +2 (y 2 )5 +15 (y 2 )9 und sodann q4 = y 2 +2 (y 2 )5 +15 (y 2 )9 +150 (y 2 )13 , so dass man durch analoges Verfahren die Potenzreihe von y beliebig weit fortsetzen kann und q= y 2 +2 (y 2 )5 +15 (y 2 )9 +150 (y 2 )13 + · ·· (e)