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214 V. Berechnung des Normalintegrals
Wir haben auf S. 122 Formel 32 erhalten
ϑ20ϑ0(u+v)ϑ0(u−v) =ϑ20uϑ20v−ϑ21uϑ21v.
Beachtet man, dass
dϑ0(u+v)
du = dϑ0(u+v)
dv =ϑ′0(u+v)
dϑ0(u−v)
du =−dϑ0(u−v)
dv =ϑ′0(u−v)
ist, wo
ϑ′0(α) = dϑ0(α)
d(α)
sein soll, so liefert die angesetzte Gleichung durch Differentiation nach v
Ï‘20[Ï‘
′
0(u+v)ϑ0(u−v)−ϑ0(u+v)ϑ′0(u−v)]
= 2[ϑ20uϑ0vϑ ′
0v−ϑ21uϑ1vϑ′1v]
und durch nochmalige Differentiation nach v, wenn man dann v= 0 setzt
und beachtet, dass
ϑ′0 = 0, ϑ′′1 = 0
ist,
ϑ20[ϑ0uϑ
′′
0u−(ϑ′0u)2] =ϑ0ϑ′′0ϑ20u−ϑ′21ϑ21u
oder, wenn man durchϑ20ϑ
2
0u dividirt,
1
Ï‘0u d2Ï‘0u
du2 − [
1
ϑ0u dϑ0u
du ]2
= ϑ′′0
ϑ0 − ( ϑ′1
Ï‘0 )2 Ï‘21u
Ï‘20u .
In andrer Form geschrieben
d2 logϑ0u
du2 = ϑ′′0
ϑ0 − (
Ï‘2Ï‘
′
1
Ï‘0Ï‘3 )2
s2u.
Da nun
ϑ′1 = pi
2K Ï‘0Ï‘2Ï‘3
ist, so folgt
ϑ′1ϑ2
Ï‘0Ï‘4 = pi
2K Ï‘22 = Ï‘22
ϑ23 =κ
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher