Page - 219 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

219 setzt, so wird P(u,a) = ∫ z 0 z2dz (a2−z2) √ (1−z2)(1−κ2z2) = ∫ u 0 κ2s2αs2du 1−κ2s3s2u= sα s′α [ ϑ′0α ϑ0α u− 1 2 log ϑ0(α+u) ϑ0(α−u) ] . (33) Dieses IntegralP(u,a)dritterGattungwurdevonJacobi seiner leichtenBe- rechnunghalberalsNormalintegraleingefu¨hrt.WillmandasLegendre’sche Normal integral berechnen, so ergiebt sich dieses einfach ausP(u,a). Es ist P(u,a) = ∫ z 0 z2dz (a2−z2)y= ∫ z 0 ( −1+ a 2 a2−z2 ) dz y =a2 ∫ z 0 dz (a2−z2)y− ∫ z 0 dz y . P(u,a) =−a2Π(u,a)−u Π(u,a) =−P(u,a) a2 − u a2 =−κ2s2α[P(u,a)+u]. (34) Daher ist Π(u,a) = ∫ z 0 dz (z2−a2) √ (1−z2)(1−κ2z2) =−κ 2s3α cα∆α [ cα∆α sα + ϑ′0α ϑ0α ] u+ 1 2 κ2 s3α cα∆α log ϑ0(α+u) ϑ0(α−u) ; (35) u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2), z= su, a= 1 κsα = s(α+K1). Die logarithmischen Unstetigkeitspunkte des Integrals sind u=−α+K1 und u= +α+K1, fu¨r welche ϑ0(α+u) resp. ϑ0(α−u) verschwindet. Fu¨r diese ist z= s(−α+K1) =−a