Page - 221 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

VI. Das Additionstheorem fu¨r die Integrale I. und II. Gattung. 60. Wenn wir u= ∫ z1 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2), v= ∫ z2 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) setzen, so ergiebt sich z1 = su, z2 = sv und nach dem Additionstheoreme fu¨r die Funktion s(u+v) S. 105 s(u+v) = sucv∆v+svcu∆u 1−κ2s2vs2u = z1 √ 1−z22 √ 1−κ2z22 +z2 √ 1−z21 √ 1−κ2z21 1−κ2z21z22 . Setzt man also z3 = s(u+v), d. h. u+v= ∫ z3 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2), so kann man zufolge des Additionstheorems der Funktion s(u) das Additi- onstheorem fu¨r das Integral I. Gattung folgendermassen aussprechen: Ist∫ z1 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) + ∫ z2 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) = ∫ z3 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) (36) so findet zwischen z1, z2, z3 die Gleichung z3 = z1 √ 1−z22 √ 1−κ2z22 + √ 1−z21 √ 1−κ2z21 1−κ2z21z22 (37) statt. Man kann umgekehrt, wenn man die Richtigkeit der Gleichung (37) di- rekt beweist, aus dieser das Additionstheorem fu¨r die doppeltperiodischen Funktionen ableiten. Dies that (1761) Euler, Jacobi (1826) erkannte erst die Wichtigkeit dieses Satzes fu¨r elliptische Funktionen.