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224 VII. Integrale doppeltperiodischer Funktionen und da m∑ i=1 Ai,0 = 0 ist, also auch m∑ i=1 Ai,0 logϑ1(u−β) = 0 ist,wennβ einbeliebigerWert ist, sokannmanv auch inderFormschreiben V =C1 +Cu− m∑ i=1 Ai,0 log ϑ1(u−αi) ϑ1(u−β) − m∑ i=1 Ai,1Z(u−αi) − m∑ i=1 ni−1∑ h=2 Ai,h h! Z(h−1)(u−αi). (40) Nun ist,wiewir sahen,Z(h−1)(u−αi), sobaldh=2 ist, einedoppeltperi- odische Funktion vonumit den Periodenω,ω′, welche fu¨ru=αi, unendlich von der hten Ordnung wird und daher sich rational durch irgend zwei dop- peltperiodische Funktionen mit denselben Perioden z. B. Z′(u) und Z′′(u) ausdru¨cken la¨sst. Es ist mithin m∑ i=1 ni−1∑ h=2 Ai,h h! Z(h−1)(u−αi) =%(Z′,Z′′), wo % eine rationale Funktion der ArgumenteZ′,Z′′ bedeutet. Z(u−αi) ist ein Integral II. Gattung, welches fu¨r u= αi einfach alge- braisch unendlich wird, welches sich aber stets auf das Normalintegral II. Gattung J(u), ein Integral I. Gattung und eine rationale Funktion vonZ′, Z′′ zuru¨ckfu¨hren la¨sst. Aus den Formeln VI S. 56 ersehen wir, dass ϑ0(u) = 1 i ϑ1 ( u+ ω ′ 2 ) e ( u+ω ′ 4 ) pii ω , also ist d logϑ0(u) du = d logϑ1 ( u+ ω ′ 2 ) du + pii ω und hieraus folgt mit Ru¨cksicht auf Gleichung (31) S. 215, dass Z ( u+ ω ′ 2 ) =−κ2J(u)+ϑ ′′ 0 ϑ0 u−pii ω (41)