Page - 225 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

225 ist. Aus dieser Gleichung ergiebt sich Z ( u+v+ ω ′ 2 ) =−κ2J(u+v)ϑ ′′ 0 ϑ0 (u+v)−pii ω und mit Ru¨cksicht auf die Gleichung (39) S. 222 Z ( u+v+ ω ′ 2 ) =−κ2J(u)+ϑ ′′ 0 ϑ0 u−κ2J(v)+ϑ ′′ 0 ϑ0 v −pii ω −κ2susvs(u+v) =Z ( u+ ω ′ 2 ) +Z ( v+ ω ′ 2 ) + pii ω −κ2susvs(u+v). Setzt man v− ω′2 an Stelle von v, so wird Z(u+v) =Z ( u+ ω ′ 2 ) +Z(v)+ pii ω − su svs(u+v) . (42) Hieraus folgt, v=−αi gesetzt, Z(u−αi) =Z ( u+ ω ′ 2 ) −Z(αi)+ pii ω − 1 sαi 1−κ2s2αis2u s′αi+sαis ′u su . Nun la¨sst sich s2u und s ′u su rational durchZ ′(u) undZ′′(u) ausdru¨cken, denn aus der obigen Gleichung d logϑ0(u) du = d logϑ1 ( u+ ω ′ 2 ) du + pii ω folgt d2 logϑ0(u) du2 = d2 logϑ0 ( u+ ω ′ 2 ) du2 und mit Ru¨cksicht auf die Gleichung (a) S. 215 Z′ ( u+ ω ′ 2 ) = ϑ′′0 ϑ0 −κ2s2u, also wennu− ω′2 an Stelle vonu gesetzt wird, Z′(u) = ϑ′′0 ϑ0 − 1 s2u Z′′(u) = 2s ′u s3u ,