Page - 229 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

I. Kurven dritter Ordnung. 1. Die Kurven dritter Ordnung zerfallen in zwei wesentlich verschiedene Geschlechter. Die einen besitzen einen Doppelpunkt und werden daher von jeder durch diesen gehenden Geraden in einem variablen Punkte geschnit- ten,dessenKoordinaten sichdannals rationaleFunktioneneinesParameters darstellen lassen,alswelchenmandenParameterdesStrahlesdurchdenDop- pelpunktbenutzenkann.Umgekehrtmuss jedeKurvedritterOrdnung,deren Gleichung x=R(t), y=R1(t) ist, in derR undR1 rationale Funktionen von t sind, einen Doppelpunkt besitzen.∗) Die Kurven dritter Ordnung ohne Doppelpunkt bilden ein anderes Ge- schlecht. Da jede Gerade, die durch einen Punkt der Kurve geht, noch immer in zwei variablen Punkten schneidet, so ist es nicht mo¨glich, die Koordinaten der Punkte der Kurve als rationale Funktionen eines Parameters darzustel- len; versucht man es, so muss man auf Irrationalita¨ten stossen, wie wir gleich sehen werden. Da nun die irrationalen Funktionen nicht eindeutig sind, so ist ein Rechnen mit denselben nicht so einfach und es ist stets vom Vortheil, ∗) Jede KurventerOrdnung, deren Koordinaten rationale Funktionen einesParameters sind, hat 12(n−1)(n−2) Doppelpunkte. Denn ist ihre Gleichungx= r(t)%(t),y= r1(t)%(t) , wobei r, r1, % rationale Funktionennter Ordnung in t sind, so wird fu¨r einen Doppelpunkt tdie Werte t′ und t′′ 6= t′ haben, wa¨hrend x und y dieselben bleiben. Daher mu¨ssen t′ und t′′ die Gleichungen: 1 t′− t′′ [ r(t′) %(t′) − r(t ′′) %(t′′) ] = 0 1 t′− t′′ [ r1(t′) %(t′) − r1(t ′′) %(t′′) ] = 0 oder 1 t′− t′′ [r(t ′)%(t′′)−r(t′′)%(t′)] = 0 1 t′− t′′ [r1(t ′)%(t′′)−r1(t′′)%(t′)] = 0 befriedigen. Hiervon sind nur auszuscheiden die (n−1) Werte t, die ausser einer Wurzel t′′ noch%(t) = 0 befriedigen. Eliminirt man aus den Gleichungen t′′, welches in ihnen ebenso wie t′ im (n−1)ten Grade auftritt, so erha¨lt manG(t′) = 0, welche Gleichung t′ in der Ordnung (n−1)2 entha¨lt. Scheidet man obige (n−1) Werte, die%(t) =0 befriedigen, aus, so werden die (n−1)(n−2) u¨brigen Werte t′, welcheG(t′) = 0 machen, die verlangten Gleichungen befriedigen. Wu¨rde man aber t′ eliminirt haben, dann wu¨rde sichG(t′′) = 0 ergeben haben, wo G = 0 dieselbe Gleichung fu¨r t′′, wie fru¨her fu¨r t′ wa¨re, d. h. die (n−1)(n−2) Wurzeln vonG(t′) = 0 sind gleichzeitig Wurzeln vonG(t′′) = 0 oder die Wertepaare t′ und t′′ geben 12(n−1)(n−2) Doppelpunkte der Curventer Ordnung.