Page - 231 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

231 sein, d. h. die Gleichung einer reellen Kurve dritter Ordnung kann in der Form f(x,y) =B3xy 2 +A2x 2 +2B2xy+C2y 2 +A1x+2B1y+A0 = 0 (3) angenommen werden, in der die Koeffizienten reell sind. Die Tangenten par- allel zur y-Achse haben Beru¨hrungspunkte, deren Koordinaten sich aus 1 2 ∂f ∂y =B3xy+B2x+C2y+B1 = 0 (4) und aus (3) ergeben. Berechnet man aus (4) y und setzt es in (3) ein, so erha¨lt man (A2x 2 +A1x+A0)(B3x+C2)−(B2x+B1)2 = 0, (5) fu¨r die Abscissenx eine Gleichung dritten Grades, welche drei von einander verschiedene Wurzeln α1, α2, α3 besitzt. Denn wu¨rde eine Wurzel x = α Doppelwurzel von(5) sein, somu¨sste siedieAbleitungdieserGleichungauch befriedigen, d. h. es mu¨sste fu¨rx=α die Gleichung (3), (4) und d dx ( 1 2 ∂f ∂y ) x=α = [ B3y+B2 +(B3x+C2) dy dx ] x=α = 0 bestehen und da dy dx =−∂f ∂x : ∂f ∂y ist, so mu¨sste 1 ∂f ∂y [ (B3y+B2) ∂f ∂y −(B3x+C2) ∂f ∂x ] = 0 sein. Da aber ∂f∂y nicht unendlich ist fu¨rx=α, sondern null, so muss (B3α+C2) ( ∂f ∂x ) x=α = 0 sein.DerWertα=−C2B3 genu¨gtaberf(x,y) = 0nicht,alsomuss ( ∂f ∂x ) x=α = 0 sein, d. h. fu¨r einen solchen Wertx=αwu¨rde f(x,y) = 0, ∂f ∂x = 0, ∂f ∂y = 0