Page - 241 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

241 so erha¨lt man fu¨r die neun KonstantenA,B,S neun Gleichungen, in denen sie linear und homogen vorkommen. Von diesen neun Gleichungen ist eine der letzten Folge der u¨brigen. Denn bestimmt man die acht Verha¨ltnisse der neun Konstanten aus den acht ersten Gleichungen, so wird die so bestimmte doppeltperiodische Funktion χ(u) nur mehr fu¨r u = γ3 einfach unendlich werden ko¨nnen. Da aber nach Satz 14, S. 66 eine solche Funktion sich auf einevonuunabha¨ngigeKonstante reduzirenmuss, so istauchN3 = 0erfu¨llt. Wird alsoχ(u) =C gesetzt, so folgt f ( x1 x3 , x2 x3 ) =F ( x1 x3 , x2 x3 ) −C= 0 als Gleichung der Kurve dritter Ordnung, welche durch die Gleichung (15) dargestellt wird. Fu¨r spezielle Werte vonαi βi, γi kann es sehr einfach gelingen, die ratio- nale Gleichung aufzustellen. Ist z. B. γ1 = 0, γ2 = Ω′ 3 , γ3 =−Ω ′ 3 β1 =−2Ω3 , β2 =−2Ω−Ω ′ 3 , β3 =−2Ω+Ω ′ 3 , α1 = 2Ω 3 , α2 = 2Ω+Ω′ 3 , α3 = 2Ω−Ω′ 3 , also α= 2Ω β=−2Ω γ= 0 und setzt man %x1 =Θ1 ( u− 2Ω3 ) Θ1 ( u− 2Ω+Ω′3 ) Θ1 ( u− 2Ω−Ω′3 ) =ϕ1(u) %x2 =Θ1 ( u+ 2Ω3 ) Θ1 ( u+ 2Ω−Ω′3 ) Θ1 ( u+ 2Ω+Ω ′ 3 ) =ϕ2(u) %x3 = Θ1(u)Θ1 ( u−Ω′3 ) Θ1 ( u+Ω ′ 3 ) =ϕ3(u),            (16) so kann man die Gleichung der Kurve dritter Ordnung in rationaler Form durch folgende Betrachtungen aufstellen. Es ist ϕ3(u) =ϕ1(u+ 2Ω 3 ) =ϕ2(u− 2Ω3 )