Page - 249 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

249 Je zwei, deren Argumente hier untereinander stehen, liegen also mit einemder reellenWendepunkteauf einer reellenGeradenund diese drei Geraden bilden das einzige reelle Wendepunktsdreieck. Die Gerade, welche die drei reellen Wendepunkte tra¨gt, geho¨rt zu einem imagina¨ren Wendepunktsdreieck, von dem noch die ge- genu¨berliegende Ecke reell ist. Es sindalsovondenneunWendepunkteneiner reellenKurvedritterOrd- nungstetsdrei undnur drei reell undvondenvierWendepunktsdreiecken ist eines stetsganzreell,dessenSeiten jededurcheinenderreellenWendepunkte gehen. 8. Setzt man zwischen den Argumentenu und v die Beziehung fest u=±v+c wo c eine beliebige Gro¨sse ist, so wird jedem Punkte der Kurve dritter Ord- nung ein anderer in ganz bestimmter und eindeutiger Weise zugeordnet. Die Beziehung istaucheindeutigumkehrbar.Soll umgekehrt zwischendenPunk- ten einer Kurve dritter Ordnung eine ein-eindeutige Beziehung bestehen, so muss zwischen den Parametern derselben die Relation u = ±v+ c statt- haben. Denn wa¨re u= αv+ c, so wu¨rden dem Punkte, dessen Argument v+µΩ+µ′Ω′ ist, alle Punkte, deren Argumenteu=αv+α(µΩ+µ′Ω′)+c entsprechen; sollen alle nur ein bestimmter Punkt sein, so mussα eine ganze Zahl sein. Dann folgt aber, dass dem Punkte, dessen Argument u ist, al- le Punkte, deren Argumente 1α(u+νΩ+ν ′Ω′− c) = v sind, entsprechen, d. h. die Punkte mit den Argumenten1α(u−c)+ νΩ+ν ′Ω′ α und diese sindα 2 verschiedene Punkte, wenn ν,ν′ alle ganzen Zahlen durchlaufen. Sollen also auch diese nur einen Punkt geben, so mussα2 = 1, d. h.α=±1 sein. Diese eindeutige Transformation der Curve dritter Ordnung in sich ist keine lineare bei beliebigem c. Denn sind v1,v2,v3 die Argumente dreier be- liebiger Punkte der Kurve dritter Ordnung, welche auf einer Geraden liegen, fu¨r die also v1 +v2 +v2≡γ ist, so wird fu¨r die entsprechenden Punkteu1,u2,u3 die Kongruenz bestehen u1 +u2 +u3≡±γ+3c, d. h. die Punkte liegen bei beliebigem c nicht auf einer Geraden. Setzt man aber fu¨r die Transformation S · ··u=v+c, c= µΩ+µ ′Ω′ 3 ,