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Je zwei, deren Argumente hier untereinander stehen, liegen also
mit einemder reellenWendepunkteauf einer reellenGeradenund
diese drei Geraden bilden das einzige reelle Wendepunktsdreieck.
Die Gerade, welche die drei reellen Wendepunkte tra¨gt, geho¨rt
zu einem imagina¨ren Wendepunktsdreieck, von dem noch die ge-
genu¨berliegende Ecke reell ist.
Es sindalsovondenneunWendepunkteneiner reellenKurvedritterOrd-
nungstetsdrei undnur drei reell undvondenvierWendepunktsdreiecken ist
eines stetsganzreell,dessenSeiten jededurcheinenderreellenWendepunkte
gehen.
8. Setzt man zwischen den Argumentenu und v die Beziehung fest
u=±v+c
wo c eine beliebige Gro¨sse ist, so wird jedem Punkte der Kurve dritter Ord-
nung ein anderer in ganz bestimmter und eindeutiger Weise zugeordnet. Die
Beziehung istaucheindeutigumkehrbar.Soll umgekehrt zwischendenPunk-
ten einer Kurve dritter Ordnung eine ein-eindeutige Beziehung bestehen, so
muss zwischen den Parametern derselben die Relation u = ±v+ c statt-
haben. Denn wa¨re u= αv+ c, so wu¨rden dem Punkte, dessen Argument
v+µΩ+µ′Ω′ ist, alle Punkte, deren Argumenteu=αv+α(µΩ+µ′Ω′)+c
entsprechen; sollen alle nur ein bestimmter Punkt sein, so mussα eine ganze
Zahl sein. Dann folgt aber, dass dem Punkte, dessen Argument u ist, al-
le Punkte, deren Argumente 1α(u+νΩ+ν ′Ω′− c) = v sind, entsprechen,
d. h. die Punkte mit den Argumenten1α(u−c)+ νΩ+ν ′Ω′
α und diese sindα 2
verschiedene Punkte, wenn ν,ν′ alle ganzen Zahlen durchlaufen. Sollen also
auch diese nur einen Punkt geben, so mussα2 = 1, d. h.α=±1 sein.
Diese eindeutige Transformation der Curve dritter Ordnung in sich ist
keine lineare bei beliebigem c. Denn sind v1,v2,v3 die Argumente dreier be-
liebiger Punkte der Kurve dritter Ordnung, welche auf einer Geraden liegen,
fu¨r die also
v1 +v2 +v2≡γ
ist, so wird fu¨r die entsprechenden Punkteu1,u2,u3 die Kongruenz bestehen
u1 +u2 +u3≡±γ+3c,
d. h. die Punkte liegen bei beliebigem c nicht auf einer Geraden. Setzt man
aber fu¨r die Transformation
S · ··u=v+c, c= µΩ+µ ′Ω′
3 ,
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher