Page - 253 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

253 ist, also im Ganzen die acht Kollineationen der zweiten Art, wenn man die Identita¨t wegla¨sst. 9. Die Gleichung (1) S. 230 der Kurve dritter Ordnung ohne Doppelpunkt entha¨lt neun willku¨rliche Konstanten. In den Gleichungen (15) S. 239 muss die gleiche Anzahl auftreten, hier erscheinen sie aber in ausserwesentliche (dem Koordinatensystem anhaftende) und wesentliche getrennt. In erster Reihe treten die zwei Konstanten A1 : A2 : A3 und sieben willku¨rliche Gro¨ssenαi, βi, γi, auf, da zwischen den letzteren die zwei Glei- chungen (15a) stattfinden. Fu¨hrt man aber in (15)u+c stattu ein, so kann man einer von den eben erwa¨hnten neun Konstanten einen beliebigen Wert beilegen, ohne die Form der rationalen Gleichung der Kurve zu alteriren. Wir haben also acht willku¨rliche Konstanten, welche auf die Gestalt der ra- tionalen Gleichung der Kurve Einfluss haben, und mit Hilfe deren wir acht Konstanten der letzteren willku¨rliche Werte (innerhalb gewisser Grenzen) beilegen ko¨nnen. Diese acht Gro¨ssen haften dem jeweilig gewa¨hlten Koordi- natensystem an, und a¨ndern sich mit der Wahl dieses. Die αi, βi, γi, sind geradezudieWertedesParametersu+c fu¨rdieSchnittpunktederKurvemit dem Fundamentaldreiecke und dieAi bestimmen den Einheitspunkt des Ko- ordinatensystems. Geht man nun von einem Fundamentaldreiecke zu einem anderen u¨ber, so hat man durch die lineare Transformation der Koordinaten acht Konstanten zur Verfu¨gung, die also im Allgemeinen hinreichen, um den obigen acht KonstantenAi, αi, βi, γi vorgegebene Werte zu ertheilen. Als neunte wesentliche Konstante fu¨r die Kurve tritt die Gro¨sse Ω ′ Ω auf, vonwelcherdieΘ1-Funktionalleinabha¨ngt,unddiedurchdie linearenTrans- formationen derx1, x2, x3 ungea¨ndert bleibt. Man kann daher denAi, αi, βi, γi die Werte geben, die sie in den Glei- chungen (16) haben, und weiss dann, dass die Gleichungen (15) in diese durch lineare Transformation der Koordinaten u¨bergehen. Das Fundamen- taldreieck fu¨r die Gleichungen (16) ist ein Wendepunktsdreieck und da es deren vier giebt, so kann man die Gleichungen einer Kurve 3. Ordnung ohne Doppelpunkt auf vier verschiedene Arten auf die Form (16) bringen. Wie man sich leicht u¨berzeugt, wird die Form der rationalen Gleichung stets (18) sein. Da es aber nur ein vollsta¨ndig reelles Wendepunktsdreieck giebt (das in (16) zu Grunde gelegt wurde), so kann man nur auf eine ganz bestimmte Art die Gleichung einer reellen Kurve 3. Ordnung ohne Doppelpunkt durch eine reelle Koordinatentransformation auf die Form (18) bringen, in welcher dann c sowohl als das Koordinatendreieckx1 = 0, x2 = 0,x3 = 0 reell ist. Die einzige auftretende Konstante c kann durch lineare Transformation nicht beliebige Werte fu¨r eine gegebene Kurve annehmen, sie ist die einzige