Page - 255 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

II. Kurven nter Ordnung mit 12n(n−3) Doppelpunkten. 10. Hat eine Kurventer Ordnung F(x1,x2,x3) = 0 (1) 1 2n(n−3) =dDoppelpunkte, sokannmandurchdieseundn−3 festePunkte derselben Kurven (n−2)ter Ordnung legen, von denen noch 1 2(n−1)(n+2)− 12n(n−3)−(n−3) = 2 Punkte beliebig sind, und von denen jede auch durch Annahme von zwei Punkten im Allgemeinen bestimmt ist. Sind daher ϕ1(x1,x2,x3) = 0 ϕ2(x1,x2,x3) = 0 ϕ3(x1,x2,x3) = 0 dieGleichungenvondreibeliebigenKurven(n−2)ter Ordnung,welchedurch die dDoppelpunkte und die (n−3) festen Punkte gehen, und die keinem Bu¨schel von Kurven (n−2)ter Ordnung angeho¨ren, d. h. zwischen denen bei konstantenλ1 ,λ2, λ3 die Identita¨t λ1ϕ1(x1,x2,x3)+λ2ϕ2(x1,x2,x3)+λ3ϕ3(x1,x2,x3)≡0 nicht bestehen kann, so ist es mo¨glich, die Gleichung einer jeden Kurve (n− 2)ter Ordnung,welchedurchdiedDoppelpunkteunddie(n−3) festenPunkte geht, ϕ(x1,x2,x3) = 0 in der Form ϕ(x1,x2,x3)≡λ1ϕ1(x1,x2,x3)+λ2ϕ2(x1,x2,x3)+λ3ϕ3(x1,x2,x3) = 0 (2) darzustellen, und umgekehrt wird jede Kurve der (n−2)ten Ordnung, deren Gleichung von der Form (2) ist, durch diedDoppelpunkte und (n−3) festen Punkte gehen. Setzt man nun µξ1 =ϕ1(x1,x2,x3) µξ2 =ϕ2(x1,x2,x3) µξ3 =ϕ3(x1,x2,x3) (3) und la¨sst zwischen den Koordinatenxdie Gleichung F(x1,x2,x3) = 0 (1)