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256 II. Kurvennter Ordnung mit 12n(n−3) Doppelpunkten bestehen, sowird jedemPunkte,dessenKoordinatenx1,x2,x3 dieGleichung (1) befriedigen, ein bestimmter Punkt, dessen Koordinaten ξ1,ξ2,ξ3 sind, entsprechen. Durchla¨uft also der Punkt x die Kurve F = 0, so wird der Punkt ξ eine gewisse Kurve f(ξ1,ξ2,ξ3) = 0 (4) durchlaufen. Eliminirt manx1,x2,x3,µ aus den Gleichungen (3) und (1), so erha¨lt man eine Gleichung G(ξ1,ξ2,ξ3) = 0, die den rationalen Faktor f(ξ1,ξ2,ξ3) entha¨lt, der gleich Null gesetzt, eben die Gleichung der Kurve giebt. Diese Kurve ist von dritter Ordnung. Denn ist λ1ξ1 +λ2ξ2 +λ3ξ3 = 0 dieGleichungeinerbeliebigenGeradenderEbene, inwelcherdieKurvef= 0 liegt, so entsprichtdieser inderEbenederKurveF= 0eineKurve (n−2)ter Ordnung vermo¨ge (3), deren Gleichung λ1ϕ1(x1,x2,x3)+λ2ϕ2(x1,x2,x3)+λ3ϕ3(x1,x2,x3) = 0 ist,unddiese schneidetausser indenDoppelpunktenundden festenPunkten die KurveF= 0 nur in n(n−2)−2d−(n−3) = 3 Punkten,diemitλ1,λ2,λ3 variiren,die sichalsovonKurvezuKurve a¨ndern. Diesen drei Punkten vonF= 0 entsprechen aber drei Punkte von f= 0, die auf der beliebig angenommenen Geraden liegen. Die Gleichungen (3) transformiren also in rationaler eindeutiger Weise dieKurventer OrdnungF= 0 indieKurve3.Ordnungf= 0, sodass jedem Punkte von F = 0 ein bestimmter Punkt von f = 0 entspricht.∗) La¨sst ∗) Es ko¨nnte ein Zweifel fu¨r die festen Punkte und die Doppelpunkte entstehen, da fu¨r diesealleϕverschwinden,aberauchdiesenentsprechenbestimmteWertedesVerha¨ltnisses ξ1 : ξ2 : ξ3. Denn setzt man ξ= ξ1 ξ3 , η= ξ2 ξ3 , x= x1 x3 , y= y2 y3 so werden die Formeln (2) auch in der Form ξ= ϕ1(x,y,1) ϕ2(x,y,1) , η= ϕ2(x,y,1) ϕ3(x,y,1)