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Die Kurve f(ξ1,ξ2,ξ3) = 0 kann keinen Doppelpunkt besitzen, ohne dass
F(x1,x2,x3) = 0 auch noch einen Doppelpunkt ha¨tte. Denn wu¨rde f = 0
einen Doppelpunkt haben, dann ko¨nnte man die Koordinaten der Funkte
derselben rational durch einen Parameter ausdru¨cken, d. h. man ko¨nnte
µξ1 = r1(t)
µξ2 = r2(t)
µξ3 = r3(t)
setzen, dann wu¨rde aus (5)
νx1 = R1(t)
νx2 = R2(t)
νx3 = R3(t)
folgen, d. h. die Koordinaten der Kurve nter Ordnung wu¨rden auch als ra-
tionale Funktionen eines Parameters ausdru¨ckbar sein und F = 0 mu¨sste
1
2n(n−3)+1 Doppelpunkte besitzen. [Vgl. Anmerkung S. 229.]
11. Hat nun f = 0 keinen Doppelpunkt, dann kann man die Koordina-
ten der Punkte als eindeutige doppeltperiodische Funktion dritter Ordnung
darstellen und man kann
σξ1 =Θ1(u−α1)Θ1(u−α2)Θ1(u−α3)e2ν u
Ωpii=φ1(u)
σξ2 =Θ1(u−β1)Θ1(u−β2)Θ1(u−β3)e2µ u
Ωpii =φ2(u)
σξ3 =Θ1(u−γ1)Θ1(u−γ2)Θ1(u−γ3) =φ3(u)
setzen, wobei
Σγ1 =0
Σα1 =ν ′Ω−νΩ′
Σβ1 =µ ′Ω−µΩ′
und da diese Gleichungen fu¨r alle Werte (x1,y1) gelten, fu¨r dieF(x,y,1) = 0 befriedigt
wird, bis auf die speziellen, fu¨r welche mehrere Wurzeln y (oder x) von F(x,y,1) = 0
einander gleich werden, dieses aber nur eine endliche Anzahl von Werten ausschliesst, so
gilt allgemein
x=R(ξ,η), y=R1(ξ,η)
und wenn man die beiden rationalen Funktionen auf gleiche Nenner bringt, so kann man
x= ψ1(ξ,η,1)
ψ3(ξ,η,1) , y= ψ2(ξ,η,1)
ψ3(ξ,η,1)
setzen, was die Gleichung (2) giebt.
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher