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259 Die Kurve f(ξ1,ξ2,ξ3) = 0 kann keinen Doppelpunkt besitzen, ohne dass F(x1,x2,x3) = 0 auch noch einen Doppelpunkt ha¨tte. Denn wu¨rde f = 0 einen Doppelpunkt haben, dann ko¨nnte man die Koordinaten der Funkte derselben rational durch einen Parameter ausdru¨cken, d. h. man ko¨nnte µξ1 = r1(t) µξ2 = r2(t) µξ3 = r3(t) setzen, dann wu¨rde aus (5) νx1 = R1(t) νx2 = R2(t) νx3 = R3(t) folgen, d. h. die Koordinaten der Kurve nter Ordnung wu¨rden auch als ra- tionale Funktionen eines Parameters ausdru¨ckbar sein und F = 0 mu¨sste 1 2n(n−3)+1 Doppelpunkte besitzen. [Vgl. Anmerkung S. 229.] 11. Hat nun f = 0 keinen Doppelpunkt, dann kann man die Koordina- ten der Punkte als eindeutige doppeltperiodische Funktion dritter Ordnung darstellen und man kann σξ1 =Θ1(u−α1)Θ1(u−α2)Θ1(u−α3)e2ν u Ωpii=φ1(u) σξ2 =Θ1(u−β1)Θ1(u−β2)Θ1(u−β3)e2µ u Ωpii =φ2(u) σξ3 =Θ1(u−γ1)Θ1(u−γ2)Θ1(u−γ3) =φ3(u) setzen, wobei Σγ1 =0 Σα1 =ν ′Ω−νΩ′ Σβ1 =µ ′Ω−µΩ′ und da diese Gleichungen fu¨r alle Werte (x1,y1) gelten, fu¨r dieF(x,y,1) = 0 befriedigt wird, bis auf die speziellen, fu¨r welche mehrere Wurzeln y (oder x) von F(x,y,1) = 0 einander gleich werden, dieses aber nur eine endliche Anzahl von Werten ausschliesst, so gilt allgemein x=R(ξ,η), y=R1(ξ,η) und wenn man die beiden rationalen Funktionen auf gleiche Nenner bringt, so kann man x= ψ1(ξ,η,1) ψ3(ξ,η,1) , y= ψ2(ξ,η,1) ψ3(ξ,η,1) setzen, was die Gleichung (2) giebt.