Page - 260 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
Image of the Page - 260 -
Text of the Page - 260 -
260 II. Kurvennter Ordnung mit 12n(n−3) Doppelpunkten
(vgl. Anmerkung S. 239) angenommen werden kann, so dass
Ï•1(u)
[Θ1(u)]
3, Ï•2(u)
[Θ1(u)]
3, Ï•3(u)
[Θ1(u)]
3
doppeltperiodische Funktionen dritter Ordnung sind, die nur fu¨r u= 0 un-
endlich von der dritten Ordnung werden. Dann liefern die Gleichungen (5)
νx1 =ψ1 (
Ï•1(u)
[Θ1(u)]3 , ϕ2(u)
[Θ1(u)]3 , ϕ3(u)
[Θ1(u)]3 )
=Ψ1(u)
νx2 =ψ1 (
Ï•1(u)
[Θ1(u)]3 , ϕ2(u)
[Θ1(u)]3 , ϕ3(u)
[Θ1(u)]3 )
=Ψ2(u)
νx3 =ψ1 (
Ï•1(u)
[Θ1(u)]3 , ϕ2(u)
[Θ1(u)]3 , ϕ3(u)
[Θ1(u)]3 )
=Ψ3(u),
wo Ψi(u) eindeutige doppeltperiodische Funktionen sind, die nur fu¨r u= 0
unendlich werden. Ihre Ordnung kann, wenn man gemeinschaftlich in allen
drei auftretende Faktoren in ν eingehen la¨sst,nnicht u¨bersteigen.
Denn es ist fu¨r alle Werte vonu
F (
Ψ1(u),Ψ2(u),Ψ3(u)
)≡0,
also sind fu¨r jedes u die Werte νxi = Ψi(u) Koordinaten eines bestimmten
Punktes vonF= 0, und umgekehrt entspricht jedem Punkte vonF= 0 ein
ganz bestimmter Wert vonu, denn zufolge (3) entspricht diesem Punkte ein
bestimmter Punkt von f = 0 und diesem, wie wir wissen, ein bestimmter
Wert vonu. (Vgl. S. 244. Note 1.)
Wu¨rde nun Ψ1(u) eine doppeltperiodische Funktion n
′ter Ordnung sein,
so mu¨sste sie auch fu¨rn′Werteu1,u2 . . .un′ verschwinden, d. h. die Gerade
x1 = 0 wu¨rde die KurveF= 0 inn ′Punkten schneiden und daF vonnter
Ordnung ist, so mussn′5n sein.
Nun ko¨nnen aber nicht alle drei FunktionenΨi(u) von niedrigerer als der
nten Ordnung sein, denn dann wu¨rde jede Gerade, deren Gleichung
a1x1 +a2x2 +a3x3 = 0
ist, die Kurve in weniger alsnPunkten treffen, also ko¨nnte die Kurve nicht
vonnter Ordnung sein.
Man kann daher
%x1 =A1Θ1(u−a1)Θ1(u−a2) . . .Θ1(u−an)e2ν u
Ωpii =Φ1(u)
%x2 =A2Θ1(u−b1)Θ1(u−b2) . . .Θ1(u−bn)e2µ u
Ωpii =Φ2(u)
%x3 =A3Θ1(u−c1)Θ1(u−c2) . . .Θ1(u−cn)e2λ u
Ωpii =Φ3(u) (6)
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher