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260 II. Kurvennter Ordnung mit 12n(n−3) Doppelpunkten (vgl. Anmerkung S. 239) angenommen werden kann, so dass ϕ1(u) [Θ1(u)] 3, ϕ2(u) [Θ1(u)] 3, ϕ3(u) [Θ1(u)] 3 doppeltperiodische Funktionen dritter Ordnung sind, die nur fu¨r u= 0 un- endlich von der dritten Ordnung werden. Dann liefern die Gleichungen (5) νx1 =ψ1 ( ϕ1(u) [Θ1(u)]3 , ϕ2(u) [Θ1(u)]3 , ϕ3(u) [Θ1(u)]3 ) =Ψ1(u) νx2 =ψ1 ( ϕ1(u) [Θ1(u)]3 , ϕ2(u) [Θ1(u)]3 , ϕ3(u) [Θ1(u)]3 ) =Ψ2(u) νx3 =ψ1 ( ϕ1(u) [Θ1(u)]3 , ϕ2(u) [Θ1(u)]3 , ϕ3(u) [Θ1(u)]3 ) =Ψ3(u), wo Ψi(u) eindeutige doppeltperiodische Funktionen sind, die nur fu¨r u= 0 unendlich werden. Ihre Ordnung kann, wenn man gemeinschaftlich in allen drei auftretende Faktoren in ν eingehen la¨sst,nnicht u¨bersteigen. Denn es ist fu¨r alle Werte vonu F ( Ψ1(u),Ψ2(u),Ψ3(u) )≡0, also sind fu¨r jedes u die Werte νxi = Ψi(u) Koordinaten eines bestimmten Punktes vonF= 0, und umgekehrt entspricht jedem Punkte vonF= 0 ein ganz bestimmter Wert vonu, denn zufolge (3) entspricht diesem Punkte ein bestimmter Punkt von f = 0 und diesem, wie wir wissen, ein bestimmter Wert vonu. (Vgl. S. 244. Note 1.) Wu¨rde nun Ψ1(u) eine doppeltperiodische Funktion n ′ter Ordnung sein, so mu¨sste sie auch fu¨rn′Werteu1,u2 . . .un′ verschwinden, d. h. die Gerade x1 = 0 wu¨rde die KurveF= 0 inn ′Punkten schneiden und daF vonnter Ordnung ist, so mussn′5n sein. Nun ko¨nnen aber nicht alle drei FunktionenΨi(u) von niedrigerer als der nten Ordnung sein, denn dann wu¨rde jede Gerade, deren Gleichung a1x1 +a2x2 +a3x3 = 0 ist, die Kurve in weniger alsnPunkten treffen, also ko¨nnte die Kurve nicht vonnter Ordnung sein. Man kann daher %x1 =A1Θ1(u−a1)Θ1(u−a2) . . .Θ1(u−an)e2ν u Ωpii =Φ1(u) %x2 =A2Θ1(u−b1)Θ1(u−b2) . . .Θ1(u−bn)e2µ u Ωpii =Φ2(u) %x3 =A3Θ1(u−c1)Θ1(u−c2) . . .Θ1(u−cn)e2λ u Ωpii =Φ3(u) (6)