Page - 9 - in Strukturaufklärung durch Mobilitätsmessungen an massenselektierten Clusterionen in der Gasphase

2.2. Ankunftszeitverteilung beschrieben werden als: J(r,t) =vdn(r,t)−D∇n(r,t), (2.9) wobeiD der Diffusionstensor ist (siehe Gl. (2.4)). Im Gegensatz zur Betrachtung im Abschnitt 2.1. wird in diesem Fall der Diffusionskoeffizient nicht als Skalar sondern als Tensor betrachtet, um dem Vorhandensein der Vorzugsrichtung des elektischen Feldes genu¨ge zu tun. Das Koordinatensystem wird so gewa¨hlt, dass das Feld in z-Richtung anliegt. Der Diffusionstensor setzt sich aus transversalenDt und longitu- dinalemDlDiffusionskoeffizienten zusammen:D= ∣∣∣∣∣∣ Dt 0 0 0 Dt 0 0 0 Dl ∣∣∣∣∣∣. Da das elektrische Feld im Experiment gering ist, wird die ” low-field-Na¨herung“ durchgefu¨hrt. Somit kol- labiert der Tensor zum Skalar:Dl=Dt=D. Unter der Annahme der Konstanz der Teilchenzahlnwa¨hrend des Experiments (und damit des Ausbleibens von Reaktionen und Verlusten in der Zelle) erha¨lt man ∂n ∂t +∇J=β(r,t), (2.10) β ist der Quellterm, der das Eintreten der Ionen in die Driftzelle beschreibt. Unter Verwendung von Gl. (2.9) und Gl. (2.10) erha¨lt man ∂n∂t =β−vd∇n+∇D∇nbzw. ∂n ∂t =β−vdδn δz +D δ2n δx2 +D δ2n δy2 +D δ2n δz2 . (2.11) Durch Integration dieser Gleichung (unter der Voraussetzung, dass die Driftzelle in x,y und z-Richtung unendlich groß ist) u¨ber die Zeit und den Raum erha¨lt man: n(x,y,z,t) = t∫ −∞ dt′ ∞∫ −∞ dx′ ∞∫ −∞ dy′ ∞∫ −∞ dz′ β(x′,y′,z′,t′) (4pi(t− t′))3/2D3/2 ·exp(−(x−x ′)2 +(y−y′)2 +(z−z′−vd(t− t′))2 4D(t− t′) ) (2.12) Die Transformation zu zylindrischen Koordinaten ergibt: 9