Page - 10 - in Strukturaufklärung durch Mobilitätsmessungen an massenselektierten Clusterionen in der Gasphase

2. Theoretische Grundlagen n(r,θ,z,t) = ∞∫ 0 r′dr′ 2pi∫ 0 dθ′ ∞∫ −∞ dz′ t∫ −∞ dt′ β(r′,z′,t′) (4pi(t− t′))3/2D3/2 ·exp(−r 2−r′2−2rr′cos(θ−θ′)+(z−z′−vd(t− t′))2 4D(t− t′) ) (2.13) Da die Ionen im experimentellen Aufbau durch eine kreisfo¨rmige O¨ffnung mit Radius r0 (r0 = 0,25mm) in die Driftzelle gelangen, wird der Quellterm β beschrieben mit: β(r,z,t) = b pir20 S(r0−r)δ(z)δ(t), b gibt die Anzahl der injizierten Ionen an und S(x) eine Stufen-Funktion: S(x) = { 0, wenn x<0 1, wenn x≥ 0. DurchdieschonbeschriebeneKonstanzderTeilchenzahlvereinfachtsichdieGl. (2.13) im Falle des hier beschriebenen Experiments zu: n(r,z,t) = bexp(−(z−vdt)24Dlt ) pir20(4pi) 3/2D3/2 r0∫ 0 r′dr′ 2pi∫ 0 dθ′exp(−r 2−r′2−2rr′cos(θ′) 4Dt ) (2.14) Man setzt θ= 0 o.B.d.A., da die Integration u¨ber eine ganze Phase der Cosinus- Funktion erfolgt. Durch Umformen und Verwendung von zwei Integralen1 erha¨lt man fu¨r die axiale Anzahldichte der Ionen: n(r= 0,z,t) = b pir20(4piD · t)1/2 (1−exp(− r 2 0 4D · t)exp(− (z−vdt)2 4D · t )). (2.15) Im Experiment (Abb. 3.1) wird der Fluss der Ionen Φ, die die Driftzelle nach dem Zuru¨cklegen der StreckeLdurch die Austrittso¨ffnung der Fla¨chea verlassen, gemes- sen: Φ(0,z=L,t) =aJ(0,z=L,t). (2.16) 11 pi pi∫ 0 dθexp(±xcosθ)= ∞∑ m=0 (x/2)2m (m!)2 und a∫ 0 xmexp(−x)dx=m!(1− m∑ l=0 al l!)undderSubstitution x= r ′2 4D·t 10