Page - 141 - in Differential Geometrical Theory of Statistics

Entropy2016,18, 433 6 TheSimilarityStructureandtheHyperbolicity 196 7 SomeHighlightingConclusions 197 7.1 TheTotalKVCohomologyandtheDifferentialTopology . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.2 TheKVCohomologyandtheGeometryofKoszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.3 TheKVCohomologyandtheInformationGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.4 TheDifferentialTopologyandtheInformationGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.5 TheKVCohomologyandtheLinearizationProblemforWebs . . . . . . . . . . . . . . . 198 8 B.TheTheoryofStatisticaLModels 199 8.1 ThePreliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.2 TheCategoryFB(Γ,Ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.2.1 TheObjectsofFB(Γ,Ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.2.2 TheMorphismsofFB(Γ,Ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.3 TheCategoryGM(Ξ,Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.3.1 TheObjectsofGM(Ξ,Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.3.2 TheGlobalProbabilityDensityofaStatisticalModel . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.3.3 TheMorphismsofGM(Ξ,Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.3.4 TwoAlternativeDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.3.5 Fisher Information inGM(Ξ,Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.4 ExponentialModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.4.1 TheEntropyFlow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 8.4.2 TheFisher Informationas theHessianof theLocalEntropyFlow . . . . . . . . . 213 8.4.3 TheAmari-ChentsovConnections inGM(Ξ,Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.4.4 TheHomologicalNatureof theProbabilityDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.4.5 AnotherHomologicalNatureofEntropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9 TheModuliSpaceof theStatisticalModels 216 10 TheHomologicalStatisticalModels 221 10.1 TheCohomologyMappingofHSM(Ξ,Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 10.2 AnInterpretationof theEquivariantClass [Q] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.3 LocalVanishingTheoremsin theCategoryHSM(Ξ,Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 11 TheHomologicalStatisticalModelsandtheGeometryofKoszul 226 12 Examples 226 13 HighlightingConclusions 229 13.1 Criticisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.2 Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.3 KVHomologyandLocalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.4 TheHomologicalNatureof the InformationGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.5 HomologicalModelsandHessianGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 A 230 A.1 TheAffinelyFlatGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 A.2 TheHessianGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 A.3 TheGeometryofKoszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 A.4 TheInformationGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 A.5 TheDifferentialTopologyofaRiemannianManifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 141