Page - 50 - in Änderung des Gewitter- und Hagelpotentials im Klimawandel

2TheoretischerHintergrundundphysikalischeKonzepte MKTest stellt dieAnnahmeauf,dassdieNullhypotheseH0 folgendermaßen formuliert wird: Alle ZufallsgrößenX sind unabhängig und gleich verteilt (iid) und somit existiert kein Trend. Die AlternativhypotheseH1 dagegen lautet: Es liegt ein monotoner Trend vor. Ziel ist es nun, die HypotheseH0 mit einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlich- keit9α (hier5%)zuwiderlegen,wasgleichbedeutendmiteinemsignifikantenTrendist. DefiniertwirddieMKStatistikSals: S= n−1 ∑ i=1 n ∑ j=i+1 sgn(Xj−Xi) [2.49] mit sgn(Xj−Xi)=      1 , Xj−Xi>0 0 , Xj−Xi=0 −1 , Xj−Xi<0 . In einer geordneten Zeitreihe der Länge nwird jeder Wert mit einem späteren Wert verglichen,wobei alsStartwertS=0(d.h.keinTrend)gesetztwird. Ist nuneinspäterer Werthöher(niedriger)alsderWertzueinemfrüherenZeitpunkt,erhöht (erniedrigt)sich Sum1.PendeltderWertum0, istdavonauszugehen,dasskeinTrendvorliegt.Wirdein kritischer Wert, der abhängig von der Irrtumswahrscheinlichkeit und der Stichproben- größe ist, überschritten, spricht man von einem positiven oder negativen Trend. Mann (1945) und Kendall und Gibbons (1955) schrieben, dass S in etwa normalverteilt und symmetrisch ist,wodurchderMittelwertE(S)=0 ist,während fürdieVarianz V(S)= 1 18 [ n(n−1)(2n+5)− g ∑ m=1 tp(tp−1)(2tp+5) ] [2.50] gilt. Dabei ist tp die Summe, wie oft in der Stichprobe gleiche Werte auftauchen, wäh- rendgdie Anzahl dieser Gruppen mit identischen Werten wiedergibt. In Kapitel 5 wird allerdings der zweite Term vernachlässigt, da aufgrund mangelnder Gruppen der Term sehrkleinwird.Die standardisierteTeststatistikZwirdnunberechnetnach: 9 DieIrrtumswahrscheinlichkeit (auchSignifikanzniveau) istbeieinemTestdieWahrscheinlichkeit für denFehler1.Art,dereineNullhypotheseH0 fälschlicherweiseablehnenwürde. Jeschwerwiegender die Konsequenzen des Fehlers 1. Art wären, umso kleiner sollteα gesetzt werden. Allerdings er- höht dies die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art (AlternativhypotheseH1 wird widerlegt, obwohl sie richtig ist). Weil die Stichprobe kleiner als die Grundgesamtheit ist, bleibt immer ein Unsicher- heitsfaktor undα kann nicht gleich Null sein. Dementsprechend ergibt sich die Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler maximal sein darf, um ein Ergebnis als statistisch signifikant zu bezeichnen.Typische Irrtumswahrscheinlichkeiten sind0,1%,1%,5%oder10%. 50