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2TheoretischerHintergrundundphysikalischeKonzepte Abb.2.11.:Eigenschafteneiner logistischenFunktion (nachBackhauset al., 2011). Dies kann auch als Risiko R der Wahrscheinlichkeit p bezeichnet werden. Mit der „Logit“–Transformation10 kommtmanzur linearenDarstellungdesModells: L= log(odds(p))= log(R)= log( p 1−p)=β0+β1x(+ε) . [2.57] Die Parameter β0 und β1 des Modellansatzes werden mittels Schätzmethoden, in der RegelmitderMaximum–LikelihoodMethode,hergeleitet.DerFehlertermεwird inder Praxis vernachlässigt. In Abbildung 2.11 wird durch die Eigenschaften der logistischen FunktionderbisherigeAnsatznochmaldeutlich.DerAnstiegderuntersuchtenVariable erfolgtexponentiellbiszueinemWendepunkt.NachuntenwirddieFunktion,z.B. inder einfachsten Form y=1/(1+ex), durch einen Basiswert begrenzt. Nach der Hälfte der Zeit verlangsamt sich das Wachstum und nähert sich dem Maximalwert (Sättigung) an. ÜberträgtmandiesaufdieSchätzer inGleichung(2.57),wirddurchβ0 dieLage(Links- /Rechtsverschiebung)unddurchβ1 derVerlaufderFunktionbeeinflusst.Letzteresergibt für kleine Werte (β1<1) eine mit xnur sehr langsam ansteigende Wahrscheinlichkeit. Giltβ1=0,dannhatdieVariablexdagegenkeinenEinflussaufdasEreignisy. Mit p(x) = eβ0+β1x 1+eβ0+β1x = 1 1+e−β0−β1x bzw. [2.58] 1−p(x) = e −β0−β1x 1+e−β0−β1x [2.59] 10 LogitLbedeutetLogarithmusdesWahrscheinlichkeitsverhältnisses. 54