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392 Mathematik. von den Größen und Ordnungen oder Mannigfaltigkeiten. Sie ist diejenige formale Wissenschaft, welche auf einer „Anwendung der Denkgesetze auf die Anschauungsformen und auf die nach Analogie derselben begrifflich zu kon- struierenden Mannigfaltigkeiten" beruht (WUNDT, d. Philos. I3, 1907,. S. 109). Ihre allgemeinste Aufgabe ist die „Untersuchung aller überhaupt denkbaren formalen Ordnungen und Ordnungsbegriffe" (1. c. S. 13 f.). Ihre beiden allgemeinsten Zweige sind die Größenlehre und die theorie. Die M. hat das „nach seinen formalen Bedingungen in der rung Mögliche" zum Gegenstand und zwar „nicht bloß das in der wirklichen Erfahrung, sondern das in irgendeiner begrifflich denkbaren Erfahrung nach den ihr zukommenden Formgesetzen Mögliche" (S. 110). Die rein formalen Entwicklungen können über jede gegebene Grenze hinaus fortgesetzt „weil die Regel dieser Fortsetzung durch die bereits vollzogenen Operationen vollständig geliefert, und andere Bedingungen als diese Regeln hier niemals erforderlich sind" (S. 174). Die Aufgabe der M. ist es also, „die denkbaren Gebilde der reinen Anschauung, sowie die auf Grund der reinen formalen Begriffskonstruktionen in bezug auf alle ihre Eigen- schaften und wechselseitigen Relationen einer erschöpfenden Untersuchung zu (Logik ff.; A.1908). DieM. beruht auf „aprio- rischen" (s. d.) Grundlagen, d. h. auf Urteilen, welche die Eigenschaften und Konstruktionsmöglichkeiten der reinen Anschauung (s. d.) für aUe nur mögliche Erfahrung als gültig bestimmt, weil das Formale der Anschauung eine Bedingung objektiver Erfahrung und der Erfahrungsobjekte als solcher selbst ist (s. Aus den Axiomen (s. d.), Definitionen, Postulaten der M. folgt alles Weitere mit logischer Notwendigkeit, während die Axiome selbst z. Teil nur notwendigkeit" (LIEBMANN) haben und nicht „analytische" Urteile, sondern „synthetische Urteile a priori" sind (vgl. Urteil). Die Konstanz des welches den Gegenstand der M. bildet, sowie die Identität der und gliedernden, ordnenden Funktion des Denkens in allen Anwendungen des- selben die Allgemeingültigkeit mathematischer Urteile, die dessen, was an einem Falle dargetan wird, für alle analogen Fälle, für Ideale wie für das Reale. Die Regeln der Verknüpfungsweise von Einheiten zu Größen, Zahlen (s. d.) und der Beziehung der Größen aufeinander bleiben für alle Fälle dieselben, ändern sich nicht, gelten zeitlos. Das Unendliche (s. d.> und „Irrationale" wird vermöge zweckmäßiger Fiktionen so behandelt, als ob sich um endliche oder rationelle Werte handelte, wodurch die Einheit der Rech- nung ermöglicht wird (vgl. VAIHINGER, Die Philos. des Als ob, 1911). Die mathematischen Objekte sind nichts „Wirkliches", sondern Abstraktions- und Konstruktionsprodukte und von ideeller Natur; aber sie gelten für das lassen sich an allem Wirklichen annähernd realisieren. Erst die Anwendung der M. auf die Gegenstände der Erfahrung macht, besonders durch Zurückführung des Qualitativen auf quantitative Verhältnisse, exakte wissenschaft möglich; zum Teil läßt sich die M. auch auf die Psychologie an- wenden (s. Psychophysik). Doch beschränkt sich die mathematische Betrach- tungsweise stets auf bloße Relationen der Dinge, das unmittelbare „Fürsich- sein" des Wirklichen läßt sich mathematisch nicht erfassen (FECHNER, LOTZE, WUNDT, DILTHEY, EUCKEN, SIMMEL, WINDELBAND, RICKERT, BOUTROUX, BERGSON U. a.). Die M. wurde öfter als Vorbild, Mittel und Methode philosophischer