Page - 19 - in Entwicklung und Anwendung explizit korrelierter Wellenfunktionsmodelle

2.5. Integrale fu¨r F12-Methoden Das Integral u¨ber f2(r12)unterscheidet sich nur insoweit vom Integral u¨ber f(r12), alsdieSummedurcheineDoppelsummeersetztwerdenmuss.MitderDefinition cij= cicj, ωij=ωi+ωj, (2.71) und ρ˜ij= ωij ρ+ωij , ρˆij= ρ ρ+ωij (2.72) lautendie Integrale fu¨r denOperator g(r12)= f 2(r12): G0(ρ,T) = ∑ i,j cij ( π ρ+ωij )3 2 exp(−ρ˜ijT), (2.73) Gn(ρ,T) = ∑ i,j cij ρ˜ n ij ( π ρ+ωij )3 2 exp(−ρ˜ijT). (2.74) Die Integrale u¨ber g(r12)= f(r12)/r12mu¨ssen fu¨rR12nicht beru¨cksichtigtwerden, wohl aber imAllgemeinen fu¨r F12.Die Integrale lauten G0(ρ,T) = ∑ i ci ( 2π ρ+ωi ) exp(−ρ˜iT)F0(ρˆiT) , (2.75) Gn(ρ,T) = ∑ i ci ( 2π ρ+ωi ) exp(−ρ˜iT) [∑ m ( n m ) ρ˜ (n−m) i ρˆ m i Fm(ρˆiT) ] , (2.76) mit der Boys-Funktion Fm(x). Daru¨ber hinaus erha¨lt man die Integrale u¨ber den Doppel-KommutatormitdemKern g(r12)=(∇1 f(r12)) 2: G0(ρ,T) = 4 ∑ i,j cijωiωj √√√√ π3( ρ+ωij )5(ρˆijT+ 32 ) exp(−ρ˜ijT) , (2.77) Gn(ρ,T) = 4 ∑ i,j cijωiωj √√√√ π3( ρ+ωij )5 ρ˜(n−1)ij · · ( 3 2 ρ˜ij+ ρ˜ijρˆijT−nρˆij ) exp(−ρ˜ijT) . (2.78) 19