Seite - 140 - in Differential Geometrical Theory of Statistics

Entropy2016,18, 433 Contents 1 Introduction 142 1.1 TheNotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 1.2 SomeExplicitFormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 1.3 Thecontentof thePaper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 2 Algebroids,ModulsofAlgebroids,AnomalyFunctions 146 2.1 TheAlgebroidsandModules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.2 AnomalyFunctionsofAlgebroidsandofModules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3 TheTheoryofCohomologyofKVAlgebroidsandTheirModules 149 3.1 TheTheoryofKVCohomology—VersiontheBruteFormulaof theCoboundaryOperator149 3.1.1 TheCochainComplexCKV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.1.2 TheTotalCochainComplexCτ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.2 TheTheoryofKVCohomology—Version: theSemi-SimplicialObjects . . . . . . . . . . 152 3.2.1 Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.2.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.2.3 Notation-Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.2.4 TheKVChainComplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.2.5 TheV-ValuedKVHomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.2.6 TwoCochainComplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 3.2.7 ResidualCohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.3 TheTheoryofKVCohomology—VersiontheAnomalyFunctions . . . . . . . . . . . . . 158 3.3.1 TheGeneralChallengeCH(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.3.2 ChallengeCH(D) forKVAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.3.3 TheKVCohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.3.4 TheTotalCohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3.3.5 The Residual Cohomology, Some Exact Sequences, Related Topics, DTO-HEG-IGE-ENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4 TheKVTopologyofLocallyFlatManifolds 164 4.1 TheTotalCohomologyandRiemannianFoliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.2 TheGeneralLinearizationProblemofWebs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.3 TheTotalKVCohomologyandtheDifferentialTopologyContinued . . . . . . . . . . . 168 4.4 TheKVCohomologyandDifferentialTopologyContinued . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.4.1 Kernelsof2-CocyclesandFoliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5 TheInformationGeometry,GaugeHomomorphismsandtheDifferentialTopology 173 5.1 TheDualisticRelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.1.1 StatistcalReductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.1.2 AUselfulComplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.1.3 TheHomologicalNatureofGaugeHomomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.1.4 TheHomologicalNatureof theEquationFE∇∇∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.5 Computational Relations. Riemannian Foliations. Symplectic Foliations: Continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.1.6 RiemannianWebs—SymplecticWebs inStatisticalManifolds . . . . . . . . . . . 187 5.2 TheHessianInformationGeometry,Continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.3 Theα-ConnetionsofChentsov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.4 TheExponentialModelsandtheHyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 140